Математическа индукция
Изучаването на математика в училище има основна цел - да научи учениците да мислят. А какво мислене без правенето на умозаключения. Те, умозаключенията са различни видове, но сега много ще ни вълнуват индуктивните - когато правим извод от частното към общото. Сигурно всички са имали неуспешни опити да направят правилни обобщения след наблюдаване на конкретни неща. Дарвин май беше сложил комара и слона в една група, защото имали хоботи. Е, благодарение на Пеано и Блез Паскал, и техните правилни наблюдения върху естествените числа, до нас е стигнала математическата индукция - нещо много полезно. С нейна помощ  доказваме заключения, които са по-общи от наблюденията ни.

Постановка: Иска ни се да докажем някакво ТВЪРДЕНИЕ, свързано с естествените числа /това са целите положителни, нали помните :-)/.
Метод на математическата индукция:
1. Проверяваме дали ТВЪРДЕНИЕ е вярно за n = 1. /Или друго начално число./
2. Допускаме, че ТВЪРДЕНИЕ е вярно за n = k.
3. Доказваме, че ТВЪРДЕНИЕ е вярно за n = k + 1. /Като използваме горното допускане./
4. Следователно ТВЪРДЕНИЕ е вярно за всяко естествено число n

Заб. Ако сме взели друго начално число, не 1, то ТВЪРДЕНИЕ ще е вярно за всяко естествено число по-голямо или равно на него.
Илюстрация на метода на математическата индукция има в Уикипедия -
1. Нека падне първата плочка.
2. Когато падне една плочка, пада и следващата.
Заключението е, че ще паднат "всички" плочки на доминото, и този факт е безспорен :-).

Пример1: Да се докаже твърдението
за всяко естествено число n.
Решение: Само да обърна внимание на факта, че лявата страна е сбор от квадратите на първите n естествени числа.
В следващото решение ще съкратя обясненията, че май повече разсейват, отколкото помагат.

Пример2: Да се докаже
за всяко естествено число n.
Решение:
Пример3:
Решение: Ще го направя с метода на математическата индукция първо. Надявам се многоточието да не ви притеснява. Но ако все пак не ви се отдава да разберете какво има на негово място - прочетете решенията на Пример3 това след темата Числови редици.
Заб. В Пример1 и Пример2 използвахме различни схеми на доказателство. Припомнете си Глава 1. В Пример2 и Пример3 схемите са еднакви.
Лирично отклонение - друго решение на Пример3.

Решението на следващата задачка ще напиша като на белова.

Пример4: Докажете, че за всяко естествено число п е изпълнено рн > п за всяко р > 2.
Решение:

Пример5: Да се докаже,  че 2n+2.3n + 5n - 4 се дели на 25.
Решение:
Нагоре
Напред
Задачи за упражнение: Докажете твърденията за всяко естествено число n.
1.  n3 + 5n се дели на 6
2.  62n - 1 се дели на 35
3.  2н > n