Квадратни уравнения с параметър
Пример 1: Дадено е уравнението
(m - 2)х2 + (1 - 2m)х + m +1 = 0, където m е реален параметър.
Да се намерят стойностите на m, при които х = 1 е корен. При кои стойности на m този корен е единствен.

Решение:
Едно число е корен на дадено уравнение, когато поставено на мястото на неизвестното в уравнението, го обръща във вярно числово равенство. Така при х = 1 ще получим: (m - 2).1 + (1 - 2m).1 + m +1 = 0  <=>
m - 2 + 1 - 2m + m +1 = 0  0.m = 0, което е вярно за всяко m.
   При коя стойност на m коренът е единствен? За даденото уравнение има 2 възможности - или е линейно, или е квадратно. Да определим първо коефициентите на уравнението:
  Ако a = 0, уравнението ще е линейно, т.е. от 1-ва степен и можем с директно заместване да проверим колко и какви са корените.
  
Ако a не е 0, то уравнението ще е квадратно и за да има единствен корен /един двоен/, трябва дискриминантата да е 0.
Заб. В допълнение: ако искаме едно квадратно уравнение да има 2 различни реални корена, трябва дискриминантата D > 0. За да няма реални корени, трябва D < 0. Така се получава неравенство, в което неизвестното е параметъра от даденото в задачата уравнение.

Заб.
Ако пред х2 има параметър, то ВИНАГИ разглеждаме този случай отделно. Схемата е: намираме за коя стойност /или стойности/ на параметъра коефициентът пред х2 е 0 и заместваме навсякъде с нея. Получаваме непараметрично уравнение, за което можем да кажем дали отговаря на условието от задачата /тогава тази стойност на параметъра ще е решение/ или не отговаря /т.е. тази стойност няма да е решение на задачата/.
Да реализираме това:
1)   m – 2 = 0 или  m = 2    Тогава заместваме в уравнението:
Следователно m = 2 е решение на задачата.
Точен квадрат е и лесно намираме корените:
   Следователно за всяко m уравнението ще има 2 различни корена, и единия от тях е 1. В този случай 1 не е единствен и не отговаря на условието от втората част на задачата.
   Извод: От 1) и 2) следва, че само m = 2 е решение на втората част на задачата.
Отг. Всяко реално m; m = 2.
Нагоре
Напред
Назад
ЗАДАЧА. За кои стойности на реалния параметър а уравнението
ах2 - 2х + 3 =0 :
А) има два различни реални корена?  
                              
Б) има един двоен реален корен?   
                                   
В) няма реални корени?