Дробни уравнения
Дробно уравнение е такова, което има неизвестно в знаменател.
Пример 1: 
Щом има знаменател, веднага правим ограничението:
    Една дроб е 0, ако числителят й е 0.
    В случая 2х -3=0 или х = 3/2.
3/2 е допустима стойност и можем да твърдим, че е решение на уравнението.
Пример 2: 
Веднага определяме ограничението в
    Щом сме си осигурили с дефиниционното множество знаменателят да е различен от 0, можем да умножим двете страни на уравнението по х+1.

Това се казва ОСВОБОЖДАВАНЕ ОТ ЗНАМЕНАТЕЛ. И можем да го направим, защото знаем, че
АКО УМНОЖИМ ИЛИ РАЗДЕЛИМ ДВЕТЕ СТРАНИ НА ЕДНО РАВЕНСТВО С ЧИСЛО, РАЗЛИЧНО ОТ 0, ТО РАВЕНСТВОТО СЕ ЗАПАЗВА.
Заб. Еквивалентността е в ДМ.
Пример 3: 
    Най-лесно ще определим ДМ като разложим знаменателите на множители:
    Определяме НОК на знаменателите, за да умножим уравнението по него и да се освободим от него. Вземаме всички срещащи се множители в най-високата степен, в която се срещат. Тук (х-1) и (х+1) са на първа степен.
   Следователно НОК = (х-1)(х+1). След като умножим двете страни на уравнението по НОК получаваме:
    По-напредналите с материала могат да пропуснат дългото редче със съкращаването като го извършат наум. Може и не толкова”наум”: от (1) се вижда, че може да се ползва старата схема: „каквото от НОК липсва в знаменателя го качваме в числителя”, строго казано: като разделим НОК на знаменателя, полученото умножаваме по числителя. Така вместо (1), по-кратко можем да запишем освобождаването от знаменател по следния начин:
/¤  Понякога повечето мислене съкращава доста писане! И когато не можем да разчитаме на мисленето си -всеки има такива дни - е по-добре да предпочетем по-сигурния хамалски начин. Може да ви отърве от мнооого писане :-D Изборът е ВАШ!  ¤/
    От тук нататък е лесно: разкриване на скоби, прехвърляне всичко от едната страна, приведение..
Заб. Ако никое от получените числа не принадлежи на ДМ, тогава уравнението няма решение.
Вече можем да напишем план, по който да решаваме дробните уравнения:
1. Разлагаме знаменателите и определяме ДМ. /ако има множители, които се различават с „-” го изнасяме, за да станат еднакви/
2. Определяме НОК и се освобождаваме от знаменател.
3. Решаваме полученото уравнение и намираме неговите корени.
4. Проверяваме корените на горното уравнение дали са от ДМ и определяме корените на дробното уравнение.
    Пиша този план с уговорката, че понякога трябва да се прояви творчество и първо да се опростят някакви изрази. И да се води сметка за забранените стойности. Ето един пример:
Решете уравнението:
Тук можем да определим лесно
Корени ли са?
1 не принадлежи на ДМ и не е корен,
-1 принадлежи на
ДМ   и е корен.

Важна забележка:
1. Внимавайте с множители, които се различават с „- ”. Първо ги „направяте” еднакви като изнесете или внесете „-”.
2. Не забравяйте да подвеждате под общ знаменател „самотни” числа или едночлени, които имат знаменател 1!
Пример:
Изнасяме един „-” и получаваме:
Намираме НОК = (х-1) и определяме
Освобождаваме се от знаменател:
ЗАДАЧА1:  Решете уравнението
Какво получихте?
ЗАДАЧА2: Да се реши уравнението:
/СУ, 2006г./
ЗАДАЧА3: Да се реши уравнението:
/МГУ, 2006г./
ЗАДАЧА5:  Колко корена има уравнението:
/ТУ Габрово, 2006, тест/
ЗАДАЧА6:Решете дробно-рационалното уравнение:
/СА Свищов, 2006/
Нагоре
Напред
Назад