Квадратно неравенство
Пример1 : Да решим квадратното неравенство х2-2х-3<0. 

За целта ще построим графиката на функцията у= х2-2х-3, като се
интересуваме от това къде графиката е над абсцисата /т.е. у > 0/ и къде е под нея /т.е. у < 0/. За целта не е нужно да правим много точна графика, просто трябва да определим как изглежда - от кой от 6-те вида е и къде пресича абсцисата.
Тук а = 1>0, следователно е „нагоре с краката”.

D = b2-4ac = 22-4.1.(-3) = 4+12 = 16 > 0, пресмятаме корените
Тогава графиката ще изглежда така:
Вижда се, че за х<-1 и х>3 клоновете от графиката са над абсцисата,
т.е. имат
у>0 и пишем „+”, а за х между -1 и 3 графиката е под абсцисата,
т.е.
у<0 и пишем „- ”  - точно както се иска в неравенството
Решението на неравенството ще е интервала (-1; 3).
Да обърнем внимание на факта, че не е от значение къде точно е ординатата Оу, както и колко точно сме начертали графиката.


А какво ли щеше да е решението на неравенството х2-2х-3>0?
Търсим интервалите, в които сме писали „+” на горната схема: 
Ами ако решавахме неравенството
2+2х+3>0?
Пред х имаме -1, което означава, че графиката ще е с краката надолу. Корените са същите, както горе: х1= -1 и х2 = 3 и графиката изглежда така:
Решение на неравенството е  интервала (-1; 3).
Друг вариант за решаване на това неравенство - като умножим двете страни с (-1) ще получим
х2-2х-3<0,
а това вече няма отрицателнен коефициент пред х2. Какво печелим?
1) Решаваме по-лесно квадратно уравнение - ако а<0, често го забравяме в знаменателя.
2) Помним си 3 графики, а не 6.
Абе, казват, че е по-лесно!

Да припомня 6-те графики:
Ако има „-” пред квадрата, умножаваме неравенството по (-1) като сменяме всички знаци, включително и на неравенството.
    Определяме корените на квадратното уравнение. Напомням, че                                        

D>0 е равносилно на "уравнението има 2 корена"
D=0 е равносилно на "уравнението има 1 корен"
D<0 е равносилно на "уравнението няма реални корени"

Определяме знаците на у на графиката.
Гледаме знака на неравенството и определяме решенията.
Ако имаме „>” търсим „+”, ако имаме „<”, търсим „- ”. Решенията са в малки /кръгли/ скоби. При тях крайните стойности не се включват.
Ако неравенствата не са строги, т.е. допускат равенство, значи решенията на уравненията също са решения на неравенството, затваряме интервала със средни /счупени/ скоби. Ако има такава скоба, това означава, че крайното число в интервала също е решение.
При безкрайностите винаги се пишат кръгли скоби
.
Рецепта
Пример2х2-2х+3<0 
а
=1>0, D = 4-12= -8, графиката „събира вода” и „хвърчи нагоре”.  Очевидно графиката е изцяло над абсцисата и у приема само положителни стойности. Но искаме х2-2х+3<0.

Няма такива стойности на х.
Можем да заключим, че неравенството няма решение.
Пример3.х2 + 2х- 13 < 0 /(-1)
Получаваме х2 - 2х + 13 > 0, D=22-4.13 = 4-52<0
Решаваме ПОСЛЕДНОТО неравенство. Графиката „събира вода” и „хвърчи нагоре”:
Графиката отново е над абсцисата и у приема само положителни стойности каквото и да е х. Гледаме какво се иска в неравенството:
Или: всяко х е решение.
Пример4
Умножаваме двете страни по (-1) и получаваме /с краката нагоре/ :
Пример5
Можем да разкрием скобите и да получим вляво х2 - х- 2, но няма смисъл. Достатъчно е да умножим коефициентите пред х, за да получим
а=1>0, графиката „събира вода”.
Корените на квадратното уравнение се получават по-лесно като
всеки множител направим равен на 0х +1 =0 и х- 2=0
/не е нужно да го пишем, ако можем да видим корените/.
Корените са x1 = -1, x2 = 2 /две пресечни точки/.
Отново поглеждаме неравенството и виждаме, че то е нестрого, т.е. „по-голямо или равно”. Това означава, че освен интервалите, в които графиката е над абсцисата, решения са и корените на решеното квадратно уравнение. Това се записва така:
Заб. Средните скоби означават, че се включват и крайните стойности.
Пример6
а=1>0, графиката „събира вода”. Търсим корените на квадратното уравнение.
D=0, x12=1 /една пресечна точка/
Е, за всички стойност на х без 1, графиката на
у= х2 - 2х + 1 е над абсцисата, т.е. у > 0, само за х=1 е у = 0. Но в неравенството се иска  „по-голямо или равно на 0”, т.е. каквото и да е х, ще удовлетворява неравенството.
Нека решим неравенството х2 - 2х + 1 > 0. Графиката е същата.
Но решение са всички х, за които у е над абсцисата
/защото искаме у = х2 - 2х + 1 > 0/, т.е. без точката х=1.
Отг. Всяко х, различно от 1.
Да разгледаме неравенството:
Искаме у да е „по-малко от 0” /търсим „-”/ или да е 0. Няма точки от графиката, които да са под абсцисата, т.е. няма „-”, но има една точка, в която у=0 и това е х=1. Следователно решение ще е х=1.
Отг. х = 1.

Кои ще са решенията на  х2 - 2х + 1< 0.
Е, тук търсим само „-”, ама няма...
Следователно отговорът е: Няма решение.

Пример7
а=1>0, графиката „събира вода”. Търсим корените на квадратното уравнение: х2 = - 1 няма реални корени /все едноD<0/ или графиката „хвърчи нагоре”, гледаме знака на неравенството
по-голямо или равно на 0”, т.е. търсим „+”-чета или 0, а тук имаме само „+”-чета. Отг. Всяко х е решение.
Пример8.  За кои стойности на х квадратния тричлен х2 - 5х + 6 приема неположителни стойности?
Заб. „Неположителни” означава „отрицателни или 0” и го заместваме с „по-малко или равно на 0”, т.е. „< 0”.
А „неотрицателни” означава „положителни или 0” и го заместваме с „по-голямо или равно на 0”, т.е. „> 0”.

Решаваме неравенството
Графиката „събира вода”, корените са 2 и 3.
Решението е [2;3].
Нагоре
Напред
Назад