Параметрични кавадратни неравенства
Пример 1. За кои стойности на реалния параметър т всяко х е решение на неравенството
  х2 - (т + 1)х + т +1 > 0?
Решение: 
Първо забелязваме, че коефициентът пред х2 е 1 - конкретно число /не зависи от параметър/, при това положително. Това ни казва 2 неща: първо, за всяка стойност на т имаме квадратно неравенство, защото няма как да стане 0 и второ, щом числото е положително, то за всяко т графиката събира вода. Така остава да разгледаме оставащите 3 възможности за графики.
Сега поглеждаме към неравенството. Там се иска стойностите, които се получават вляво да са по-големи от 0. За да има неравенството решение „ЗА ВСЯКО х” трябва всички стойности на
у = х2 - (т + 1)х +т +1 да са положителни. Това за графиката означава, че искаме да е изцяло над абсцисата. Това означава, че само първата графика ни върши работа.

А тя /първата графика/ се получава при а > 0 и D < 0.
Тук за късмет а = 1 > 0 и това не зависи от параметъра т. Остава да видим за кои стойности на т D < 0. За да намерим дискриминантата D, трябва първо да определим коефициентите a, b и c, на квадратния тричлен.

Така получаваме:  а = 1; b = - (m + 1);  ст + 1.
Пресмятаме D = [-  (m + 1)]2 - 4.1.( т + 1) =  (m + 1)2 - 4( т + 1) =
= m2 +2m + 1 - 4 т - 4 = m2 - 2 т - 3 и искаме тя да е отрицателна,
т.е. <0. Така сведохме задачата до решаване на квадратното неравенство
m2 - 2 т - 3 <0
Корените са х1 = -1 и х2 = 3, събира вода:
Решение са числата в интервала (-1; 3) т.е. т може да е число от интервала (-1; 3).
                                                                                     Отг.
(-1; 3).
Освен, че последното неравенство беше за т, а не за х, както сте свикнали, няма друго необичайно, нали?

Следващата задача много прилича на тази:
ЗАДАЧА: За кои стойности на реалния параметър т всяко х е решение на неравенството  х2 - (2т + 1)х +т +1 > 0?

Подсказка: Разсъжденията са същите. Коефициентите са:
а = 1; b = -  (2m + 1);  ст + 1. Получаваме
D = [-  (2m + 1)]2 - 4.1.( т + 1) =  (2m + 1)2 - 4( т + 1) =
= 4m2 +4m + 1 - 4 т - 4 = 4m2 - 3 и искаме тя да е оприцателна, т.е. <0.
Така стигаме до 4m2 - 3 <0.

Пример 2. За кои стойности на реалния параметър к неравенството
(к + 1)х2 - 2(к + 1)х + к > 0 няма решение?
Решение: От пръв поглед се вижда, че пред х2 има параметър. Това означава, че ще разгледаме 2 случая: когато неравенството е квадратно /когато а не e 0/ и когато не е /при а = 0/. Да определим коефициентите a, b и c, на дадения квадратен тричлен.
Така получаваме:  а = к + 1; b = -  2(к + 1);  с = к.
1сл. а = к + 1 = 0 или к = - 1. Тогава неравенството не е квадратно, защото пред х2 има 0. Когато имаме конкретна стойност на параметъра, най-добре е да заместим с нея навсякъде в неравенството и да видим дали удовлетворява условието на задачата. Тук получаваме:
0.х2 - 2(-1 + 1)х + (-1) > 0, 0х - 1> 0, 0х > 1, което няма решение. Това изпълнява условието на задачата, следователно к = -1 е решение на задачата.

2сл.
а = к + 1 различно 0 или к различно - 1. Тогава неравенството е квадратно. С дискриминанта
D = [-  (к + 1)]2 - ( к + 1).к =  (к + 1)2 - к( к + 1) =
= к2 +2к + 1 - к2 - к = к + 1
Заб. Можеше и да изнесем ( к + 1) пред скоби, с цел да получим дискриминантата на множители ( к + 1)(к + 1 - к) = к + 1.

Заб. Когато имаме квадратен тричлен е най-добре дискриминантата да се намери още в началото, защото можем да получим конкретно число и това да ограничи разглежданите случаи. Можем да получим точен квадрат и да намерим корените, в някои задачи това е доста полезно. Е, може да не попаднем в такъв прекрасен случай, както и сега, но пък по-късно ще потрябва!

Спомняме си шестте възможни графики и трябва да решим кой или кои варианти ни устройват.
Сега поглеждаме неравенството. Там се иска
у = (к + 1)х2 - 2(к + 1)х + к > 0 да няма решение. Щом графиката минава над абсцисата, неравенството ще има някакво решение.

Трябва у < 0 за всяко х, т.е. графиката да е под абсцисата, като може и да се допира до нея.
Можем да обобщим:
това е по-силното условие от двете. Получаваме k < -1. Помним също, че k  не може да е -1 в разглеждания случай. Следователно всички числа, по-малки от -1 могат да са решения. Решение в този случай е k < -1.

От 1 сл. и 2 сл. следва:
Пример 3. За кои стойности на реалния параметър а неравенството


има решение всяко х?
Решение: Първо да определим коефициентите
a, b и c.
Заб. а
е коефициента пред х2, b е коефициента пред х, а с е свободния член, внимавайте да не се объркате с параметъра а от конкретната задача.
В дадения квадратен тричлен:

а
= 1; b = - (а + 1);  с = а. Прекрасно, а = 1 > 0. Имаме 3 възможни графики.  И искаме графиката да е изцяло над абсцисата, като може и да се допира, защото се допуска „= 0”.
На условието на задачата - решение да е всяко х - отговарят само първите две. При третата има интервал, който не е решение, защото графиката „слиза под абсцисата”.
Такива ще са графиките, ако D < 0 или D = 0. Можем да обобщим: Условието на задачата ще е изпълнено при
Да намерим и дискриминантата:
Но ние искаме
и следователно единствено възможно е D = 0. Или а =1. Това е единственото решение на задачата.

Заб. Ако не се сетите да представите D като точен квадрат, може да си решите полученото неравенство
Тук D1 = 0, коефициентът пред а2 е 1 > 0, уравнението има единствен корен а12 = 1 и графиката на у = а2 - 2а + 1 изглежда така:
Ние искаме „по-малко или равно на 0”. По-малко от 0 няма, защото графиката не слиза под абсцисата. Остава само „=0”, а равенство има само при а = 1.
Отг а = 1.
Пример 4. Решете неравенството
в зависимост от реалния параметър т.
Решение: Първо, коефициентите:
а = т; b = -2;  с = т.
Ще трябва да разгледаме по отделно а = т = 0 и а = т не е 0.
1 сл. а = т = 0 Заместваме в неравенството:
2 сл. а = т различно от 0. За да определим решенията на неравенството, трябва да знаем кога коя картинка от възможните 6 се получава. Те зависеха от а и D. Търсим у < 0, т.е. графиката е под абсцисата и общите точки на графиката и абсцисата.
Пресмятаме D = 1 - т2. Да намерим знаците на D.
Пред т2 има (- 1) и графиката излива вода.
Решаваме уравнението 1 - т2 = 0, т2 = 1.
Знаците на а = т са ясни. Ще ги подредя в импровизирана таблица:
Първо, нека т < -1, там а и D са отрицателни /сл. 2.1/.  Графика:
Искаме у по-малко или равно на 0, т.е. тук всяко х е решение.
Второ, -1 < т < 0, там а <0 и D > 0
/сл. 2.2/. Графика:
Така е защото двете дроби имат еднакви отрицателни знаменатели и положителни числители, но на първата е по-голям. Тогава за решение тук получаваме:
Трето, 0 < т <1), там а >0 и D > 0 /сл. 2.3/. Графика:
Решението за х е затворения интервал [х1 ;х2], корените са същите, но тук т > 0 и
Тогава решението тук е:
Четвърто, т > 1, там а >0, D < 0 /сл. 2.4/. Графика:
и неравенството няма решение, защото искаме у по-малко или равно на 0.
Пето, нека т = -1
/сл. 2.5/. Щом имаме конкретна стойност - заместваме директно в неравенството:
Шесто, ако т = 1, /сл. 2.6/ получаваме:
Отговорът ще е доста дълъг и досаден, но трябва да се напише, обединяваме първия и петия /2.1 и 2.5/ случай, защото тогава решението е едно и също:
ЗАДАЧА: Дадена е функцията  f(x) = ах2 - 2ах + 3 = 0.  Кои от следните твърдения са верни?
А) При 0 < а < 3 всяко х е решение на неравенството f(x) > 0.
Б) За а = 0, всяко х e решение на f(x) < 0.
В) При а = 0  f(x) < 0 няма решение.
Г) При а > 3 неравенството f(x) > 0 има решение всяко х.

Нагоре
Напред
Назад