1 Какво беше това функция? Правило, по което на елемент от едно множество се съпоставя елемент от друго можество се нарича функция.
Ние разглеждаме числови функции. Това означава, че на едни числа по някакво правило съпоставяме други числа. Първите се наричат аргументи и образуват так. нар. ДЕФИНИЦИОННО МНОЖЕСТВО /ДМ/, а вторите - функционални стойности. Онагледява се с графика в правоъгълна координатна система като аргументите са по абсцисата Ох, а функционалните стойности по ординатата Оу. Графиката на функция се получава от всички точки (х; у), където х принадлежи на ДМ, а у са съответните им функционални стойности получени по даденото „правило”.

2 Стойности на функция

Сигурно има нужда да напомня как като изберем х се получават съответната  стойност  за у?
Графично това става както на картинката на фиг.1:
Понятия от математическия анализ
през избраното х построим перпендикуляр към абсцисата до графиката /напр. ако сме си избрали х1, вдигаме перпендикуляр до т. L/
през получената точка от графиката построяваме перпендикуляр към ординатата /през т. L построяваме перпендикуляр до у1/.
А аналитично /с пресмятане/ става като с избраната стойност на х заместим във функцията, пресметнем и получим „съответното” у.  Да се върнем на y = x2 - 4x +7 от фиг. 1. За някакво х1 съответната стойност у1 ще се пресметне така:
y1 = (x1)2 - 4x1 +7.
С числа: ако
x1 = 3, то
y1 = 32 - 4.3 +7 = 9 - 12 +7 = 4.
При друг запис  y = f(
х) = x2 - 4x +7 /т.е. дали сме име f  на тази функция/. Тогава за някакво x1 намираме съответната стойност y1= f(х1)  = (x1)2 - 4x1 +7 като заместим х с  x1.
Ако x1 =
-3, то
y1 = f(
-3) = (-3)2 - 4(-3) +7 = 9+12+7 = 28.
фиг. 1
Това е y = x2 - 4x +7 /фиг.1/. Колкото по-големи стойности на х избираме, толкова по-големи са и съответните стойности за у, или графиката „се качва нагоре”.
РАСТЯЩА ФУНКЦИЯ: y = f(х) e растяща,
ако за всеки х1
> х2 е изпълнено f(x1) > f(x2) / или у1> у2 /. Т.е. неравенствата са еднакви.
Ето пример за функция, която е
НАМАЛЯВАЩА ФУНКЦИЯ: y = f(х) e растяща,
ако за всеки х1
> х2 е изпълнено f(x1) < f(x2) / или у1 < у2 /. Т.е. неравенствата са различни.
Същата функция е
Колкото по-малки са стойностите на х, толкова по-големи са стойностите на у, или графиката „слиза надолу”.
фиг. 2
Ако в даден интервал дадена функция е растяща, или намаляваща, казваме, че е МОНОТОННА. Да определим интервалите на монотонност на една функция означава да определим в кои интервали тя расте, и в кои - намалява.
За горната функция y = x2 - 4x +7 има два интервала:

Следващите примери са на функции, които в цялото си ДМ са само растящи или само намаляващи.

Примери за само намаляващи функции:
Каква е разликата между двете графики?? Очевидна... Едната е непрекъсната /y= - x5, ако някой не се е сетил/, а другата е прекъсната при х = 0. Първата функция е намаляваща в цялото си ДМ, т.е. за
Втората функция няма стойност за х = 0, т.е. ДМ е всяко х, което не е 0. Така графиката е съставена от два клона, в два интервала, като във всеки от тях е намаляваща. Така функцията е само намаляваща, макар да има два интервала на монотонност -
Правата х = 0 се нарича вертикална асимптота за тази функция. Асимптота е права, към която функцията се стреми, става безкрайно близо до нея, но не я достига, т.е. не я пресича или допира. Та, вертикална асимптота е вертикална права /вертикална = ^, т.е. е перпендикулярна на абсцисата Ох/ към която графиката на функцията се стреми без да я докосва. Такива прави се получават при прекъсване в ДМ. Е, тази функция има и хоризонтална асимптота y = 0. Това означава, че когато х расте или намалява неограничено, стойностите на у се приближават до 0. Как се получават хоризонталните асимптоти е тема за по-нататък J


Примери за само растящи функции:
Ясно е вече, предполагам, че и двете функции от чертежите вляво са растящи. Разликата е в това, че първата е непрекъсната и е растяща в целия интервал на ДМ,

Втората функция

има прекъсване. А ДМ е всяко х с изключение на 3!
Тя също е растяща в своето ДМ, макар то да е от два интервала.
Между другото, тя също има вертикална асимптота х = -3 и хоризонтална асимптота y = 1.
Каква е следващата функция?
Ами то се вижда, че е непрекъсната и растяща в цялото си ДМ,


А как да определяме къде расте и къде намалява една функция ще разберем като пораснем още малко J в математиката поне J.
4. Най-голяма и най-малка стойност
НГС е най-голямата стойност, която може да достигне у в ДМ. НМС е най-малката стойност, която може да достигне у в ДМ.
В първия пример НМС у =3 при х=2,
НГС не се достига, защото у расте неограничено при увеличаване или намаляване на х.

В примера от фиг.6 у = - х4 + 2х2 +1 и има НГС у = 2 при х =
±1. А НМС не се достига, защото у неограничено намалява.
Обаче, ако разгледаме тази функция в интервала [-1; 1], можем да видим от графиката,
НМС е у = 1 при х = 0, и НГС е у = 2 за х =
±1.
А ако интервалът е [-1; 0]? Там функцията е намаляваща /т.е. у става все по-малко/ и логично в началото ще има НГС, а в края ще е НМС.
В интервала [0; 1] пък функцията е растяща, значи у става все по-голяма, следователно в началото на интервала ще е НМС, а в края - НГС.

     Да разгледаме следващата графиката:
Тук ДМ е х принадлежи на [-2; 3]. Точката А е „най-високата” точка за у, а точката С е „най-ниската”. Математически казано: НГС на у е 5 при х = -2, а НМС на у е -4 при х = 1.

Забележете, че най-голяма и най-малка стойност отчитаме по у!!!! И казваме за коя стойност на х се случва това.
А дефиниционното множество на функцията може да ни е дадено /както в горната/ или да трябва ние да го определим. Например, функцията
/разгледахме графиката по-нагоре/. Подкоренната величина трябва да е неотрицателна, или 2х-2 > 0,


Функцията в само растяща в един интервал, следователно ако има НМС, тя ще е в началото му и ако има НГС - тя ще е в края. Това, разбира се, ако изобщо се достигат тези стойности. При
се вижда, че НМС е у = 0 при х = 1, но НГС не се достига, защото функцията расте неограничено.
След като разгледахме толкова примери, можем ли да направим някакъв извод за това как да определяме НМС и НГС, ако ги има?

Ако функцията е растяща, НМС ще е в началото, а НГС - в края.
Ако функцията е намаляваща, НГС ще е в началото, а НМС - в края.
В останалите случаи търсим просто „най-ниските” или „най-високите” точки.
 
 
 
 
 
1 Какво беше това функция?
2 Стойности на функция
3 Растяща и намаляваща функция
4. Най-голяма и най-малка стойност
5. ТЕСТ
Тест
На следващата картинка е графиката на функцията у = -х2-2х+3. Определете монотонносттта на функцията в следните интервали:
монотонно расте
монотонно намалява
не е монотонна
3 Растяща и намаляваща функция
Нагоре
Напред