Чертаене на графика и свойства
За да начертаем хубава графика на квадратна функция ни трябват 5 точки. Но кои точно 5 точки да вземем, за да се получи хубава графика? /За по-грозна графика и 3 точки ни стигат./

Да начертаем графиката на
y = x2 - 4x +7 /на картинката/ като използваме таблица. Първо, веднага можем да отбележим, че графиката ще е нагоре с краката, защото пред х2 има +1>0. Освен това няма да пресича Ох, защото дискриминантата е отрицателна. Даваме стойности за х и пресмятаме съответните стойности за у.
Напр.  у = 0 - 4.0 +7 = 7, ако х = 0.
Да разгледаме графиката и да видим какви са точките от таблицата.
Първо забелязваме, че графиката е
симетрична относно правата х = 2, т.е. ако „сгънем” графиката по тази права, двата клона ще съвпаднат. Или правата х = 2 се нарича „ос на симетрия”. Точката С, през която минава тази права, се нарича „връх на параболата”. В случая това е най-ниската точка на графиката, или точката от графиката, която има най-малка стойност на у. За тази точка казваме, че функцията има най-малка стойност у=3 при х=2. Може да се запише така: НМС у =3 при х=2. Най-голяма стойност не се достига, защото при увеличаване/намаляване на аргумента х, стойността на у се увеличава. Точката х=2 е в средата на таблицата, защото е важно да знаем оста на симетрия и къде се намира върхът на параболата. Как разбрахме, че е точно 2??? Е, малки тайни J
- това е стойността на х /абсцисата/, за която се достига върха на параболата!! Като сложим това число на мястото на х във функцията и пресметнем дясната страна, получаваме стойността на у - в случая 3.
Няма да извеждам формулата, защото това може да се прочете във всеки учебник за 10 клас по математика. Само ще отбележа, че при тази функция а = 1, b = - 4 и с = 7.
Освен симетрията забелязваме, че в интервала
графиката ”слиза надолу”, т.е. функцията е намаляваща. В интервала
графиката „се качва нагоре”, т.е. функцията е растяща.

НАПОМНЯНЕ
РАСТЯЩА ФУНКЦИЯ: y = f(х) e растяща, ако за всеки х1>х2 е изпълнено f(x1) > f(x2)    /или у1 > у2 /,
НАМАЛЯВАЩА ФУНКЦИЯ: y = f(х) e намаляваща, ако за всеки х1> х2 е изпълнено f(x1) < f(x2) /или у1 < у2 /.

Другите точки в таблицата са взети симетрично относно върха на параболата. Избрала съм абсцисите х на точките B и D да са на разстояние 1 от  тази на върха.
Точката А е важна - пресечна точка с ординатата Оу. Тя се получава като на х дадем стойност 0 и пресметнем стойността на у. 0 е на разстояние 2 от 2, затова и съм взела симетричната от другата страна на 2 -> х=4.


Да припомним какво е изпълнено за точките от координатните оси.
Ординатата има уравнение х = 0, и всички точки oт нея също имат х = 0.
Абсцисата има уравнение у = 0 и всички точки от нея имат у = 0.

Ако една точка е от функцията у = f(x) и е върху абсцисата, то трябва да е изпълнено у = f(x) = 0. Тогава можем да твърдим, че точките, в които графиката пресича абсцисната ос имат у = 0 и х - решения на уравнението  у = f(x) = 0.

Когато чертаем графика на квадратна функция, трябва да знаем къде тя пресича координатните оси. Видяхме как се получава пресечната точка с Оу.  А пресечните точки с Ох ще са точките, за които у = 0. Как да получим стойностите на х, за които у = 0? Те са решенията на квадратното уравнение y = ax2 + bx + c = 0 или тук y = x2 - 4x +7=0. Последното уравнение няма реални корени, защото има D = -12. Това означава, че графиката му не пресича абсцисата, т.е. „хвърчи нагоре”.
Да обобщим свойствата на горната функция ,
Ос на симетрия х = 2.
НМС у =3 при х=2, НГС не се достига.
Пример1 : Да начертаем графиката на функцията у = -х2 - х + 2 по горните правила и да определим ос на симетрия, пресечните точки с координатните оси, интервали на монотонност, НГС и НМС.
Да определим коефициентите: а = -1<0,
b = - 1 и с = 2.
Графиката ще излива водата.
                                           

или х = -0,5 - ос на симетрия.
Връхът на параболата е за
хV = -0.5, тогава
у
V = -0.52- (-0.5)+2= -0.25+0.5+2= 0.25 +2=
=2.25 или
(-0.5;2.25) е връх на параболата.
Пресечни точки с коорд. оси:
с Оу
> х = 0, у = -0-0+2=2.
с Ох
> у = 0,  решаваме квадратното уравнение   
-х2 -х+2 = 0. D = 9,
х1= -2 и х2=1
До тук имаме 4 точки за таблицата. За    5-та точка можем да вземем симетричната на      х = 0 относно оста на симетрия х = -0.5. 0 е вдясно от -0.5, следователно симетричната й ще бъде вляво и пак на разстояние 0.5, а това е -1. Ако сме разсъждавали вярно, като пресметнем стойността на у при х = -1, тя трябва да бъде като на тази в х = 0.
Е, у = -(-1)2 -(-1) +2 = -1+1+2 = 2, точно колкото и при х = 0.

Очевидно НГС се достига за у = 2.25 при х = -0.5, а НМС не се достига.
Ос на симетрия
х = -0,5.
Интервалите на монотонност са:

Нагоре
Напред
Назад