Неравенства от по-висока степен
Ще решим неравенството от Пример2, което решавахме по метода на змията,  но ще определим знаците малко по-различно - „метод на интервалите”.
Пример 3. Решете неравенството:
Разлагаме на множители както и горе.
Нареждаме ги на числовата ос:
Сега отново поглеждаме знака в неравенството:
Търсим интервалите с „-”, решения са и „нулите”.
Решаване по  "МЕТОДА НА ИНТЕРВАЛИТЕ".
Ще наредим на числовата ос „нулите” и ще определим знаците, които, както изглежда се сменят J като използваме факта, че между 2 „нули” знакът на израза е един и същ.
„Нулите” са: 
Ще намерим знака в един от интервалите като пресметнем за конкретно число. Харесвам си числото 0 /няма значение кое число си харесаме, стига да не е „нула”/ и го отбелязваме на схемата:
Смятаме знаците при х = 0 :
  /Не се интересуваме от конкретната стойност, а само от знака./  Отбелязваме получения знак на схемата:
Заб. Използваме, че във всички точки от такъв интервал знакът на израза е един и същ.
Тук идва това, което дава името на метода - сменяме знаците алтернативно, т.е. +, -,+, -,…
Получаваме:
Удобството на тези методи е, че веднага получаваме знаците в интервалите, но има „подводни камъни”, които „табличковият” метод /който иска може след малко да го разгледа в Пример6, да види как и защо се получава тази смяна на знаците/ успява да избегне с цената на повече писане и време. Проблемът e в степените на множителите. Ако в разлагането има множител на нечетна степен, той се третира като множител от първа степен и с него няма проблем. Но ако в разлагането участва множител от четна степен, той си има „нула”, но не става отрицателен. В резултат на това, когато минаваме през „нула” на множител от четна степен, не сменяме знака!!! Да разгледаме следната задача:

Пример4.
Първо, множителите 3 > 0 и (х2 + 11)> 0 за всяко х не влияят на знаците или нулите и можем да не ги разглеждаме. Защо? Защото можем да разделим двете страни на неравенството на
3(х2 + 11) > 0. Получаваме
Второ, определяме „нулите”.
х = 0 е решение;
(х - 2)3 = 0, х = 2 е решение;
(х + 3)4 = 0, х =
- 3* е решение; Слагам звездичка, за да не го забравя после. Защото този множител е на четна степен и
По тази причина можем да не го разглеждаме повече. Решаваме
и не забравяме звездичката.  
(7 - х) = 0, х = 7 е решение;
(х + 1) = 0, х = - 1 е решение.

Трето, искаме да определим знаците на  х(х -2)3(7 -х)(х + 1). Положителните множители не ни интересуват.
Нанасяме на числовата ос всички "нули":
Вече сме наясно къде лявата страна е 0, сега трябва да определим знаците u в получените отворени интервали.
Харесвам си число от последния интервал - например 10 или 100... ще се задоволя с 10.
смятаме за х = 10 --> 10(10 -2)3 (7 -10)(10 + 1) = + . +. - .+ = - . Нанасяме знаците като започваме с “-“ в последния интервал, сменяме ги алтернативно и не забравяме да не сменяме при „нулата” със звездичка.
Отново гледаме неравенството -  имаме  “по-голямо или равно на 0”, търсим „+ ” и „нулите”.
Решения са интервалите (-1; 0) и (2; 7) и числата -3, -1, 0, 2 и 7. Това можем да опишем така:
За отбелязване е, че фигурните скоби { } се използват за изброяване на отделни изолирани решения.
Ако решавахме горното неравенство, но с обратен знак, т.е.
Заб. Можеше да да използваме схемата от „змията” и без да гоним „+” пред х в множителите, а с определяне на знака:
Търсим „по-голямо или равно на 0” и получаваме:
Ако пък искаме да си осигурим + в най-десния интервал, трябва да умножим неравенството по (-1):
Змията изглежда така:
Сега търсим  „по-малко или равно от 0” и получаваме:
Решенията са едни и същи!

Пример 5.

Решение: Откъде да започнем?
Първо, имаме множител -2 < 0 и ще взема първо да разделя двете страни на неравенството по него, за да не го забравя после!!

Второ, ще трябва да разложим, ако може, х2 - 4х + 15.
D = 4 - 4.15 = 4 - 60 < 0, което означава, че този квадратен тричлен е неразложим и има постоянен знак - знакът на а. Тук коефициентът а = 1>0. Следователно  х2 - 4х + 15 > 0 за всяко х и няма да влияе на знака на лявата страна на неравенството. С други думи - можем да разделим двете страни на този положителен израз.

Трето, да определим „нулите”, които тук няма да са решения, защото неравенството е строго:
Четвърто, ще разгледаме знаците на лявата страна в отворените интервали. Там можем да разделим:
Последното е квадратно неравенство, а ние още помним как се решава:
На числовата ос сме си сложили задължително „нулите”. Сега да определим решенията. „Нулите” не са решения и трябва да ги изключим, интересуваме се от знаците „+”.
ЗАДАЧА: /ТУ Габрово, 2001, тест/ (х + 2)(4 - х)(х - 1)2 > 0.
Нагоре
Напред
Назад