Неравенства от по-висока степен
Решаване по  "ТАБЛИЧКОВ МЕТОД".
ЗАДАЧА: /ТУ Габрово, 2001, тест/ (х + 2)(4 - х)(х - 1)2 > 0.
Сега ще разгледаме „табличковия” метод на интервалите. Доста бавен е и го препоръчвам само за трудни задачи, които не успявате да решите по другите. И не на последно място - ако имате време да го ползвате J.

Пример6. Да разгледаме неравенството х3 - х < 2 - 2х2. Това си е Пример1. Вървем по схемата:
1.  х3 - х < 2 - 2х2х3 - х - 2 + 2х2 < 0 
2.  х(х2 - 1) - 2(х2- 1) < 0, (х2 - 1)(х- 2) < 0, (х + 1)(х - 1)(х- 2) < 0
3.  Определяме нулите:  х + 1 = 0, х = - 1;  х- 1 = 0, х = 1;  х- 2 = 0, х = 2.
4.  Нанасяме нулите на числовата ос в табличка.
5.Определяме знаците във всеки от интервалите:  х- 2 < 0, х < 2; х- 2 > 0, х > 2 и го нанасяме в табличката:

х + 1 < 0, х < - 1; х + 1 > 0, х > - 1, и това нанасяме в таблицата:
х- 1 < 0, х < 1; х- 1 > 0, х > 1, нанасяме:
За да определим знака на израза, трябва да умножим знаците на множителите и получаваме:

6.За да определим решението, отново гледаме неравенството.
Тук е „<0”, което означава, че ще търсим интервалите, в които левият израз е отрицателен, т.е. търсим „червените минуси” в горната табличка.
т.е. решението е

ЗАБЕЛЕЖКА. Този „табличков” метод се нарича „метод на интервалите”. Абе под „интервали” се разбира, че ползваме свойството на /непрекъснатите/ функции между две свои „нули” да имат постоянен знак.


Пример 7.
Да решим и едно биквадратно неравенство. Например:
Трябва да разложим на множители лявата страна. Нека
Тогава х4 - 2х2 -63 = t2 - 2t -63 = (t - 9)(t + 7) = (x2 - 9)(x2 + 7) =
= (x - 3(x + 3)(x2 + 7)
/Няма да се спирам на разлагането на квадратния тричлен :-) / Е, тук получихме множител
(x2 + 7) > 0 за всяко х, т.е. не влияе на знака и можем да не го разглеждаме. Ако си направим табличка като горната и го включим, просто навсякъде ще пишем “+”.  Аз няма да го разглеждам повече. Така получаваме следното неравенство:
което е квадратно и решение е [-3; 3].
ЗАДАЧА: Решете неравенството х(х2- 7х +12) < (х - 4)2 и натиснете бутончето с верния/вашия отговор.

Заб. Понякога не е нужно да прибягвате до тежката артилерия Схема на Хорнер, а просто малко да помислите. Често задачите са така нагласени, че да стават с повече мислене и по-малко писане /това последното е доста условно, ама когато става въпрос за количество често всеки мери със собствен аршин/. Та, ако разложите на множители лявата страна и прехвърлите всичко там... дали няма да има множител за изнасяне пред скоби?
Решение
Нагоре
Напред
Назад