Дробно-рационално неравенство
Пример1. Да се решим неравенството
Отдясно е „0”, което означава, че трябва да определим знаците на лявата страна, за да ги срвним с нулата. Знаем, че знаците на частното и на произвседението се определят по един и същи начин.
+ . + = + / „приятелят на мой приятел е мой приятел”/
+ . - = - / „приятелят на моя враг е мой враг”/
- . + = - / „врагът на мой приятел е мой враг”/
- . - = + / „врагът на моя враг е мой приятел”/
Така можем да разглеждаме винаги произведение, като се съобразяваме с ДМ на изходното неравенство.
Разглеждаме (х-4)(х+3) > 0.
Определяме „нулите” на множителите: 4 и -3. Тогава интервалите са три, а знаците определяме както за квадратна функция.
/Как беше това? Умножаваме коефициентите пред х,
и определяме знака:
тук е +, значи графиката е нагоре с краката и знаците са +, - , +./
Гледаме знака на неравенството - тук е „>”,
т.е. търсим „+” интервалите:
Отбелязвам, че тук -3 така и така не е решение!

Пример 2
. Да решим неравенството
Можем да сравняваме лесно знака на израза отдясно с нула, затова ще преработим неравенството.
1. Прехвърляме всичко от едната страна.
2. Подвеждаме под общ знаменател без да се освобождаваме от него.
3. Разлагаме на множители числителя и знаменателя.

4. Определяме нулите на множителите.
5. Определяме интервалите и знаците на израза в тях. /с метод на интервалите или на змията/
6. Определяме решенията според исканото в неравенството като не забравяме ДМ.

Горе- долу това е схемата. Да тръгнем по нея.

1.


2.


3.


4. х - 1 = 0 при х = 1, и х + 2 = 0 при х =  -2.
Забележка: Множителят 2 не променя знака на израза и можем да не му обръщаме внимание.
5.



-2 е забранена стойност от ДМ, а 1 е решение, защото неравенството не е строго, т.е. се допуска изразът да е равен на 0.
6. Решаваме ПОСЛЕДНОТO НЕРАВЕНСТВО, КОЕТО СМЕ ПОЛУЧИЛИ. То е “по-голямо или равно на 0”, т.е. търсим „+” или „нула” /изключваме „забранените”стойности от „нулите”/.
От тук нататък работим като с произведение като имаме предвид ДМ. Може и с метод на интервалите, може и с метод на змията, който аз ще следвам. Нулите са 2, - 3  и - 1 като -1 е забранена стойност.
Избираме числото 10 от последния интервал. Определяме знака там:
Няма четни степени, за да внимаваме.
Поглеждаме отново неравенството: „< 0”, т.е. търсим „минуси” и „нули”.
ПОДВОДНИ КАМЪНИ  Естествено, това е ДМ. Случва се да съкратим множител и после да забравим да го изключим от решенията. За да избегнем тази неприятност имаме вариант да не съкращаваме, или да си направим ДМ и да не го забравим накрая!

Пример4.
Нулите са -1, -2; -1 и 2 от ДМ и по метода на интервалите картинката ще изглежда така:
Заб. Неравенството, което получаваме:



можем да решим и с табличка:
Решението, естествено е същото!

ИЗВОДИ:
1. Табличката е по-сигурна. За предпочитане е, ако се съмняваме, че ще забравим да съобразим нещо.
2. Винаги първо да нанасяме и отбелязваме „забранените” стойности от ДМ.
3. Ако неравенството е строго, няма проблем, защото „нулите” не са решения и няма как да се объркаме.

Нагоре
Напред
Назад
Какво да направим, ако получим повече множители?
Отг.
Пример3.