Системи неравенства
Пример 2. /ШУ 1995/ При какви стойности на параметъра т
Заб. Има се предвид за всяко х.
Ако имахме да решим това двойно неравенство, щяхме да подходим така:
Двойното неравенство е еквивалентно на система от двете неравенства.
И търсим стойностите на т, за които системата е изпълнена за всяко х.
Без много да му мислим, ще трябва да решим доста системи.
Защото едно частно е положително, когато числителят и знаменателят имат еднакви знаци, а 0 може да бъде само числителя. Решението на първото неравенство е обединението на решенията от двете системи. Така решаваме и второто неравенство. То също е обединение от решенията на две системи. После получените интервали слагаме в изходната системи и ги засичаме на обща числова ос. Друг вариант е да разгледаме първо еднаквия знаменател и според неговите знаци да определим знаците на числителите:
И в нашия случай можем да разсъждаваме така, но е излишно усложняване на задачата. Иначе, ако го докараме до тук, понеже търсим решението „за всяко х”, веднага втората система ще отпадне. Първото неравенство е квадратно, има а > 0, т.е. събира вода, а искаме „< 0” и това за всяко х. Категорично няма начин да стане, т.е. няма решение за т. Няма стойности за т, за които това да е изпълнено.
Тогава остава да намерим стойностите на m, за които първата система има решение „за всяко х”. Няма да се спирам по-нататък на това решение, мисля, че няма да е сложно да получите системата за т:
Решение с повече мисъл и съобразяване с условието:
Да видим нулите и знаците на знаменателя . Определяме коефициентите му а = 1 (значи събира вода), b = -т, с = 1.
Тогава възможните графики са
Последните две не ни устройват, най-малкото защото при тях има ограничение в ДМ - има стойностна т, при която знаменателят става 0. А искаме системата да е изпълнена за всяко х. Остава да търсим т, за които се случва първата графика, т.е. т, за които  D < 0.
D = т2 - 4 = (т - 2)(т+2) < 0.
Графика:
Тогава

Щом знаменателят е положителен, можем да умножим по него двойното неравенство:
Търсим стойностите на т, за които тези 2 неравенства са изпълнени „за всяко х”. Коефициентите пред х2 са 8 > 0 и 2 > 0, т.е. графиките събират вода, и за двете искаме „по-голямо или равно на 0 за всяко х”.
Работа ни вършат първите 2 графики, а при тях D по-малка или равна на 0. Така получаваме:
Не сте забравили, че сме в случая                  , нали? Трябва да засечем двата интервала:
Нагоре
Напред
Назад