Параметрични неравенства
Всички решения да са в даден интервал

Пример 1: Да се намерят условията, при които ВСИЧКИ решения на неравенството
f(x) = ax2 + bx + c > 0, a различно от 0  са в интервала (p; q).

Сред възможните решения краен интервал за решение имаме само в първия случай. Искаме:
Тази задача вече сме я решавали. Трябва да е изпълнено:
Да решим една сериозна задача.
Пример 2: (1998, СУ) Намерете стойността на параметъра а, за които решенията на
са:  а) само положителни числа; б) съдържат точно 2 цели отрицателни числа.
Решение: Ще решим неравенството и ще наложим допълнително условие х  > 0. Предвид второто условие за двете цели числа ще решим пълно неравенството, за да знаем после къде е възможно решението да съдържа точно 2 цели отрицателни числа. Ясно е, че в безкраен интервал това няма как да се случи.
ДМ х различно от 1.
Прехвърляме всичко от едната страна, за да сравняваме с 0:

Знаменателят е ясен. Но поведението на числителя зависи от параметъра. Понеже коефициентът пред  х2 е 1>0, има 3 възможни графики - събиращите вода. Дискриминантата ще ни каже повече.
Разглеждаме числителя:
  и неговата дискриминанта:


Дискриминантата се оказа квадратен тричлен с положителен коефициент пред квадрата /следователно събира вода/. Да видим нейната дискриминанта:
Графиката за D в зависимост от а изглежда така:
Решаваме последното неравенство във всеки от тези случаи.
а)
1сл.
Не сме забравили кое неравенство решаваме, нали? Щом числителят му е положителен за всяко х, тогава знакът на лявата страна зависи от знаменателя, а той е х -1.
х - 1 > 0 при х > 1. Тогава решението на неравенството са числата след 1, а те са положителни. Можем да обобщим, че при
2 сл.

Тогава графиката на числителя  изглежда така:
При върха числителя става 0 и тази стойност на х няма да е решение на неравенството, защото то е строго. Понеже имаме 2 стойности за а, ще ги разгледаме поотделно.
Тук обаче има значение къде е числото 1. Ще разгледаме възможните случаи, за да решим в кои от тях решенията на неравенството са положителни числа:
3.1 сл. Числото 1 е преди корените на квадратния тричлен. Тогава правим табличка:
Решенията на неравенството са 
а това са само положителни числа. Това означава тези стойности на параметъра а, за които е изпълнено 1 < х1 < х2, ще са решения на задачата.
3.2 сл. ако 1 = х1 таблицата ще е
това са положителни числа, и тези стойности на параметъра а, за които х1 = 1< х2 е изпълнено, ще са решения на задачата.
3.3. сл. Числото 1 е между корените.
и ще бъдат положителни числа, ако е изпълнено
3.4 сл. Числото 1 = х2.   Таблицата изглежда така:
ще бъдат положителни числа, ако е изпълнено
3.5 сл. корените са преди 1. Таблицата ще изглежда така:
ще бъдат положителни когато
Да обобщим случаите и да видим какви графики на ни вършат работа. За 3.1 и 3.2 можем да използваме една схема:

Случаите 3.3, 3.4 и 3.5 могат да се визуализират така:
Тук можем да кажем, че 1 не е от значение за местоположението на корените, достатъчно е корените да са след 0, евентуално малкият корен да е 0. Това включва и 3.1 и 3.2. За това е достатъчно да е изпълнена следната система:
При това тази система включва (1) и ще разгледаме само нея.
Само да напомня, че сме в случая с 2 реални корена и D > 0. Да решим системата (2), а решението ще засечем с интервала, в който работим в 3сл.
Сега засичаме с интервала в 3 сл.:
е решение на задачата от 3 сл.
Да обобщим решенията от 1сл., 2сл. и 3сл.:
б)
Искаме решението да съдържа точно 2 цели отрицателни числа. От а) следва, че при а по-малко или равно на 1 неравенството има решение само положителни числа и няма как да съдържа отрицателни.
Тогава  а > 1 е една груба оценка. В кои от случаите можем да имаме отрицателни решения? Ако погледнете горните картинки и интервали, ще видите, че това са 3.3, 3.4 и 3.5.
В 3.3 и 3.4 левият интервал (х1; 1) може да съдържа 2 цели отрицателни числа, ако наложим допълнително условие -3 < х1 <-2. Ще ги разгледаме поотделно. После ще ги обобщим и ще засечем с изискването за 3сл. Ето как трябва да изглежда картинката в 3.3:
Заб. Условията f(-3) > 0 и f(-2) < 0 локализират единия корен между
-3 и -2, а f(1) < 0 осигурява другият корен да е по-голям от 1.
Ако f(-3) = 0, то решението ще е (-3, х2), пак 2 ще са целите отрицателни числа. Няма нужда от други условия.
Ето как искаме да изглежда картинката в 3.4:
Заб. Условията f(-3) > 0 и f(-2) < 0 локализират единия корен между
-3 и -2, а другият е 1. Може и f(-3) = 0, защото решението е отворен интервал. Няма нужда от други условия.
Като разгледаме системите (3) и (4) виждаме, че се различават само в последното условие и можем да ги обединим като заместим последното условие с f(1) < 0 .

В 3.5 левият интервал (х1; х2) може да съдържа точно 2 цели отрицателни числа, ако наложим допълнителни условия корените да са отрицателни и разстоянието между тях да е по-голямо от 1 и по-малко от 3, т.е. 1 < |х1- х2| < 3. За отрицателните корени ще ползвам Т Виет.
Нагоре
Към 1ва тема
Назад