Знаци на корените на квадратното уравнение
Нагоре
Напред
Назад
/с формули на Виет/
Как чрез формулите на Виет да определим знаците на корените? Ами лесно. Едната формула е за произведение на 2 числа. Е, ако това произведение е отрицателно, какво можем да твърдим за корените? Ако си спомните как се определят знаците на произведение на 2 числа /или поне помислите за врагове и приятели/, ще се сетите, че тези числа трябва да са с различни знаци. Това е и една от теоремите:

Теорема1:
т.е. корените са с различни знаци.
Редно е да отбележа, че ако х1х2 < 0, то и с/а < 0, и тъй като знаците на частно и на произведение се определят по един и същ начин,
то ac < 0 /(-4) или  -4ac > 0 /+b2.
Получаваме дискриминанта D = b2 - 4ac > b2 , което е неотрицателно, т.е корените са реални. Да обобщим /и запомним, естествено :-) /:

Заб. Можем да говорим за знаци на корените само ако те са реални. Затова трябва да си осигурим те да са такива като добавим условието дискриминантата D да е неотрицателна /по-голяма или равна на 0/!

Какво се случва, когато х1х2 > 0. Това означава, че двете числа са с еднакви знаци, ако са реални, естествено. Това означава, че или са едновременно положителни, или са едновременно отрицателни. А ако са реални, с еднакви знаци, и сборът им е положителен, дали биха могли да са отрицателни тези числа? Разбира се, че не. Това е

Теорема 2: Ако корените са реални (неотрицателна D), с еднакви знаци (х1х2 > 0) и сборът им е положителен (х1 +  х2 > 0),  то корените са положителни.

Записано кратко:
Остана да видим какво ще се случи с едни реални корени с еднакви знаци, чийто сбор е отрицателен. Едва ли биха могли да са положителни числа. Така получаваме и

Теорема 3: Ако корените са реални (неотрицателна D), с еднакви знаци (х1х2 > 0) и сборът им е отрицателен (х1 +  х2 < 0), корените са отрицателни.

Записано кратко:
Пример 1: Да се намерят стойностите на параметъра а, за които корените на квадратното уравнение ах2 + 2х - а - 2 = 0 са положителни. (1996, ВВИСУ)

Решение: Прекрасно уравнение, специално за нас готово подредено по степените на неизвестното х. Първото нещо, което трябва да видим е има ли параметър пред х2. Тук - да! Но по условие е дадено квадратно уравнение. Това означава, че трябва да изключим другия случай, т.е. а не може да е 0.

Решаваме задачата при условие, че а не е 0.
Имаме квадратно уравнение с коефициенти а = а, b = 2, c = - a - 2.
Искаме корените да са положителни. Първо, те трябва да са реални, т.е. D е неотрицателна. Второ, трябва да са с еднакви знаци, т.е. х1.х2 > 0. И трето, трябва да са точно положителни, т.е. х1 + х2 > 0. Исках да покажа, че даже да не помните теоремата, можете да си я възстановите. Ще ползвам съкратената формула за D. Получаваме:
Първото неравенство е изпълнено за всяко а.
Друг подход за горната задача. След като установим, че дискриминантата е точен квадрат, можем лесно да намерим двата корена и да наложим условие да са положителни.
Така веднага се вижда, че единият корен е положителен за всяко а.
Заб. Това пък означава, че няма как двата корена да са отрицателни. Има вариант да са с различни знаци.
За да бъдат двата корена положителни, трябва                       .

Следните въпроси са върху същото уравнение и бихте могли да отговорите без да решавате отново.

ВЪПРОС. При кои стойности на параметъра а корените на квадратното уравнение
                      ах2 + 2х - а - 2 = 0 са

А) отрицателни;


Б) с различни знаци?
ЗАДАЧА1: Дадено е квадратното уравнение (т-3)х2 - 6х + т + 5 = 0. За кои стойности на реалния параметър т уравнението има:
А) реални корени;
Б) два положителни реални корена; 
В) два отрицателни реални корена; 
Г) два реални корена с различни знаци.
Определете кой интервал в кой случай се получава.

ЗАДАЧА2: Да се определи за кои стойности на параметъра т уравнението
          (т - 1)х2 + 3х - 2т - 3 = 0 има корени с различни знаци.
ЗАДАЧА3: /Технически колеж-Смолян, 2006/ Дадено е уравнението:
(b - 2)х2 - 2(2b + 1)х + 3b + 4 = 0, където b е реален параметър.

А) Решете уравнението при b = 3;

Б) При кои стойности на b уравнението има корени и те са положителни?
ЗАДАЧА4: /РУ, 2006/ Дадено е уравнението кх2 - (к2 + 1)х + к = 0, където к е ненулев реален параметър.

А) При какви стойности на параметъра к корените х1 и х2 на уравнението са реални и положителни?

Б) За така намерените стойности на к да се пресметне най-малката стойност на функцията
Защо този отговор?