Изрази с корените на квадратно уравнение
Често в задачи има изрази на корените на квадратното уравнение, които трябва да се заместят с коефициентие му. Това понякога става като пресметнем корените, особено ако дискриминантата е точен квадрат. Най-често обаче, светът е прекрасен по своему, а не по нашему. И дискриминантите са какви ли не. Тогава прибягваме до Формулите на Виет. За целта трябва да представим тези изрази като сбор и произведение на корените. Ето и основните изрази, които се налага да се преработват. Трябва да се помнят 2 неща:

първо, винаги трябва да се грижим за съществуването на реални корени,  както и уравнението да е квадратно т.е. D е неотрицателна и а не е 0.

и второ, ако не можем да представим конкретен израз чрез Формулите на Виет, можем да използваме формулите за корените и да заместим с тях.
Основна задача. Чрез коефициентите на квадратното уравнение
ax2 + bx + c = 0, a не е 0 да се изразят:
Решение: Понеже ние си знаем едни формули на Виет, които свързват корените с коефициентите, ще е хубаво да ги използваме някак. Идеята е, с прибавяне и изваждане да представим тези изрази чрез сбор и произведение на х1 и х2, а след това да заместим, използвайки формулите
Търсим формули за съкратено умножение, които да ни помогнат.
Да припомня, че ако прибявим и извадим едно и също число/израз към даден израз, то той не се променя /т.е. това е еквивалентно преобразувание, даденият израз не променя числената си стойност/.

Пример 1: Дадено е уравнението х2 + (к - 1)х + 2к = 0, където к е реален параметър, а с х1 и х2 са означени реалните му корени.
А) Да се намерят стойностите на к, при които | х1 - х2 | < 1.

Б) Да се изрази
като функция на к, и да се намерят локалните екстремуми на f(x). Последната част от условието може да се направи с изследване на функции и няма да я решаваме сега. Задачата е давана в ЮУ, 2002.
Решение: Уравнението е квадратно за всяка стойност на к, защото пред х2 е 1 и не зависи от параметъра. Даденият квадратен тричлен има коефициенти
а = 1, b = (к - 1), c = 2к.
  За да има уравнението реални корени,
D = (к - 1)2 - 4. 2к = к2 - 2к + 1 - 8к = к2 - 10к + 1,  трябва да е неотрицателна, графиката "събира вода".
Очевидно ще ни трябват и формулите на Виет. Нека ги напишем за това уравнение, за да можем лесно да заместваме после.
Засичаме го с интервала от дискриминантата, като имаме предвид, че
Защото
Можете да пресметнете приблизителните стойности на тези числа с калкулатор, а може и да се опитате да ги сравните като използвате свойствата на корените - за тези, които ги знаят J.

ЗАДАЧА1: (ВСУ, 2005) Дадено е уравнението
(3 - т)х2 - 4тх - 5т = 0,
където т е реален параметър, различен от 3. Да се намерят стойностите на т, за които корените х1 и  х2 на уравнението удовлетворяват неравенството
Проверка.
ЗАДАЧА2: /ПУ, филиал Смолян, 2006/ Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които квадратното уравнение
2х2 + (а - 1)х + 2- 2а = 0
има различни от нула, реални корени х1 и х2 такива, че
Проверка.
 
ЗАДАЧА: /ХМТУ, 2002, 2006/ Да се намерят стойностите на реалния параметър к, за които е в сила неравенството:
където х1 и х2 са реални решения на уравнението
х2 - (к + 2)х - к2 +1 = 0.

Проверка.
Нагоре
Напред
Назад