Разпределение на корените на кв. уравнение
Разглеждаме все същото квадратно уравнение
f(x) = ax2 + bx + c = 0, a различно от 0 число.
Ще разглеждаме обикновено х1 < х2.
Ще търсим при какви условия за коефициентите, е изпълнено някакво условие за корените.

Първо ще видим, кога едно число т се намира между корените на квадратното уравнение.

Нека квадратното уравнение има корени х1 и х2 и а > 0, и да си изберем число х1 < х < х2. Тогава графиката на
у = f(x) = ax2 + bx + c  ще изглежда както на картинката.
Заб. Помните как се получаваха графично корените на квадратното уравнение, нали? Като пресечем у = f(x) и у = 0.
Когато х = т се движи между корените, то съответните стойности на  у = f(т) ще се движат под абсцисната ос,
т.е.
у = f(т) < 0 за т в интервала (х1 ; х2) при а > 0.

Ако имате инсталирана geonext, можете
тук да пуснете анимацията. Ако я нямате - вижте тук. Трябва да се отвори прозорче и там да има бутонче за пускане/спиране.
Нека сега да разгледаме същата ситуация, но при а < 0.
Когато х = т се движи между корените, то съответните стойности на  у = f(т) ще се движат над абсцисната ос, т.е.

у = f(т) > 0 за т в интервала
(х1 ; х2)
при а < 0.
Това може да видите, ако пуснете анимацията на този файл с geonext или тук - за да ви се отвори прозорче, в което да има бутонче за пускане/спиране.
Хвърлете поглед нагоре, погледнете графиките и текста в червено. Какво се оказва? Ако т е в интервала (х1 ; х2), то а и f(т) имат различни знаци! Това се оказва и достатъчно условие, т да е между корените х1 и х2. Нещо повече, гарантира, че корените са реални!
/ако а > 0, то клоновете неограничено растат и приемат положителни стойности, ако f(т) < 0, то ще има стойност, за която графиката ще „мине от другата страна на абсцисата”. Тогава графиката, която е непрекъсната, ще трябва да пресече някъде абсцисата, при това даже в 2 точки. Именно те са корените на уравнението./
Още едно напомняне -  2 числа имат различни знаци тогава и само тогава, когато произведението им е отрицателно, т.е.
а. f(т) < 0. И така получихме следната
Теорема, даваща НДУ число да е между корените на квадратното уравнение:
Пример1: За кои стойности на реалния параметър к корените на уравнението
f(x) = 3x2 + 2(к - 1)x + 3к (2к - 3) изпълняват условието х1 < 5 < х2.
Решение: За късмет а = 3 > 0, не зависи от параметъра.
Графиката събира вода и искаме да изглежда така:
т.е. f(5) < 0.
f(5) = 3.52 + 2(к - 1).5 + 3к(2к - 3) = 3.25 + 10к -10 + 6к2 - 9к =
= 6к2 + к +65 < 0.
D = 1-4.6.65 < 0, а = 6, графиката е изцяло над абсцисата и неравенството няма решение, затова и задачата няма решение.

ЗАДАЧА: Дадена е функцията
f(x) = (т + 1)x2 + (т4 - т2 + 1) x -2т2 - т, където т е реален параметър.
А) Да се намерят стойностите на т, за които уравнението
f(x) = 0 има два реални корена, от които единия е по-малък от т, а другият е по-голям от т. (ТУ, 2005)
Какво трябва да е изпълнено за параметъра m?
т.f(m) < 0
(т+1).f(m) < 0
т.f(m+1) < 0
(т+1).f(m) > 0
Нагоре
Напред
Назад