Разпределение на корените на кв. уравнение
НДУ число т да не е между корените на квадратното уравнение

На следните картинки виждаме какво ни върши работа.
Разгледайте хубаво горните графики. Можете да видите и анимациите с geonext при а>0 и а<0 . Ако нямате geonext, опитайте тук за а>0 и тук за а<0.

При а > 0 виждаме, че трябва f(т) > 0. При а < 0, трябва f(т) < 0. Можем да направим извода, че ако числото е извън корените, то неговата функционална стойност има знака на коефициента а. А
две числа имат еднакви знаци тогава и само тогава, когато произведението им е положително, в случая аf(т) > 0. Това, разбира се, не осигурява съществуването на реални корени  х1 и х2. Затова трябва да добавим и условието D да е неотрицателно. Така се получава следната

Теорема, даваща НДУ едно число да е извън корените.
Пример1: За кои на стойности реалния параметър к корените на уравнението
f(x) = 2x2 + 2(2к - 1)x + к (6к + 1,5),
числото 1 не е между корените х1 и х2.
Решение: а = 3 > 0, събира вода. Искаме:

Трябва да е изпълнено:
f(1) = 2.12 + 2(2к - 1).1 + к (6к + 1,5) = =2 + 4к - 2 + 6к2 + 1,5к = 6к2 + 5,5к = =к(6к + 5,5),
k1 = 0, k2 = -5,5/6 = -11/12
Системата изглежда така:

Като ги засечем, получаваме
Понякога се налага да знаем къде точно е дадено число: преди корените или след тях. Условието, с което „местим графиката наляво-надясно” е условие за върха u. Така получаваме следните НДУ:

Теорема НДУ т да е отляво на интервала [х1; х2.]
Ако погледнете горните графики - това се отнася за числото т. За числото т1, което трябва да е отдясно на корените получаваме следната

Теорема НДУ т1 да е отдясно на интервала [х1; х2.]
Забележка. Само отбелязвам, че за да не претрупвам горните чертежи, не съм начертала и графика на функция с D = 0, която също ни върши работа.
Пример1: Да се намерят стойностите на реалния параметър к, за които корените на уравнението
f(x) = x2 +kx + k2 + 6k = 0 не са в интервала [-6; 0].
Решение: За да не са в интервала [-6; 0], значи или са преди -6, или са след 0, или интервалът [-6; 0] е изцяло между корените. Освен това да отбележим, че коеф. пред x2 е 1 > 0, т.е. графиката „събира вода”.  Работа ни върши една от следните графики:

2 сл. НДУ корените да са след 0 /т.е. 0 да е отляво на корените/ е:
Решението на задачата е обединение на решенията на тези три случая, но тъй като в два от тях няма решение, то решението на задачата идва от случая с решение - втория.
Нагоре
Напред
Назад
3 сл. Интервалът [-6; 0] е изцяло между корените е все едно числата -6 и 0 да са между корените, т.е. търсим НДУ
1 сл. НДУ корените да са преди -6 /т.е. -6 да е отдясно на корените/ е: