Разпределение на корените на кв. уравнение
НДУ корените на квадратното уравнение да са в даден интервал
Искаме корените на квадратното уравнение да са в даден интервал
(p; q). Това означава, че търсим НДУ р да е отляво на корените, и q да е отдясно. Прилагайки двете теореми като заместим т с р, и т1 с q получаваме следната

Теорема НДУ корените на квадратно уравнение да са в даден интервал:
Да разтълкуваме условието с помощта на картинки, защото често в задачите има дребни елементи - разлики с горното условие, които трябва да се съобразяват от чертежа.
Как се разсъждава?
1. За да има изобщо реални корени, трябва D да е неотрицателна. Няма число между корените, което да гарантира, че те ще съществуват.
2. a и f(p) имат еднакви знаци, следователно  a. f(p) > 0.
3. a и f(q) имат еднакви знаци, следователно  a. f(q) > 0.
Тези изисквания, обаче, не стигат. Ето пример за графика, което ги удовлетворява, но не ни върши работа.
4. За да „вкараме” корените между р и q трябва върхът да е между р и q - нали с него „местим графиката наляво - надясно”. 

Пример 1: Да се намерят стойностите на реалния параметър т, за които за корените на уравнението (3 - т)х2 - 4тх - 5т = 0 е изпълнено |х| < 1.
Решение:
Определяме коефициентите
а = (3 - т), b =  - 4т и с = - 5т.
Първо, веднага забелязваме с орловия си поглед, че пред х2 има коефициент а = (3 - т) - съдържа параметър.
Това веднага означава 2 случая.

1 сл. а = (3 - т) = 0, или т = 3. Какво правим, когато имаме конкретна стойност?
Заместваме: - 12х - 15 = 0, - 12х = 15, х = -5/4, но |-5/4| = 5/4 > 1.
т = 3 не е решение на задачата.
2сл. а = (3 - т) не е 0, или т не е 3. 
Тогава уравнението е квадратно. Да означим
с f(x) = (3 - т)х2 - 4тх - 5т.

Искаме -1< х1, х2 <1. Една от следващите графики ни върши работа.
Искаме все пак да има реални корени, при това няма значение дали са 2 различни или един двоен, т.е.
При а > 0 забелязваме, че f(-1) > 0 и  f(1) > 0.
При а < 0 забелязваме, че f(-1) < 0 и  f(1) < 0.
Тези изисквания се обобщават с:
a. f(-1) > 0 и a. f(1) > 0.
Заб. Ако не се сетим за обобщението, можем да си разгледаме 2 системи, които ще напиша накрая, с всички условия.
И последно, за да „вкараме” корените в интервала (-1; 1), трябва върхът на параболата да е между -1 и 1:
Така получаваме системата:
Ако не сме направили обобщението, ще получим 2 системи:
Решението ще е обединението от решенията на двете системи.
Ще използваме първата система, но и в двата случая ще трябва да изразим D (по съкратената формула),  f(-1), f(1) и върха:
D = 4т2 - (3 - т).( - 5т) = 4т2 + 5т (3 - т) = 4т2 + 15т - 5т2 =
15т - т2 = т(15-т)
f(-1) = (3 - т).12 - 4т(-1) - 5т = 3 - т + 4т - 5т = 3 - 2т.
f(1) = (3 - т).12 - 4т.1 - 5т = 3 - т - 4т - 5т = 3 - 10т.
Тогава системата ще изглежда така:
Засичаме интервалите:
От 1сл. и 2 сл. можем да заключим:
Важна забележка. Ако условието беше такова: Да се намерят стойностите на реалния параметър т, за които за корените на уравнението (3 - т)х2 - 4тх - 5т = 0 е изпълнено
Каква ще е разликата:  освен горните 4 картинки, ще ни вършат работа и такива, при които графиката минава през -1 или 1. Например, при а > 0:
Възможни са  f(-1) = 0 и  f(1) = 0, но при куп други условия. Тук е достатъчно да добавим равенства 
и да допускаме равенства при върха. Получаваме системата:
Често, обаче трябва да се съобразяват много нови възможни графики, и дали при новите условия няма да се получи възможност за графика, която не искаме. Затова прибягваме до стария принцип: има ли конкретна стойност на параметъра, заместваме директно с него и го решаваме като непараметрично. Откъде имаме конкретна стойност на параметъра?? Просто разглеждаме случаите f(-1) = 0 и  f(1) = 0 по отделно.
При f(-1) = 0 получаваме f(-1)  = 3 - 2т = 0 или т = 3/2. Тогава можем да решим уравнението при т = 3/2 и да видим какъв е втория корен. И понеже ще е досадно да замествам с дроб, да опростявам и т.н. мога да се възползвам от Формулите на Виет
J.
ЗАДАЧА: Дадено е уравнението ах2 - 3(а + 1)х + 2а +7 = 0, където а е реален параметър. За кои стойности на а корените на уравнението са в интервала [-1; 4]? (Академия на МВР)
Нагоре
Напред
Назад