Параметрични модулни уравнения
Нагоре
Напред
Назад
ГРАФИЧНО решаване.
Да припомня как се решават уравнения с помощта на функции:
лявата страна е едната функция, дясната - другата функция;
понеже търсим стойност на неизвестното, за което двете страни са равни, то в понятията на функциите това звучи така: търсим стойност на аргумента, за която двете функции имат равни стойности, иначе казано -
търсим пресечните точки на двете функции.
Пример 1 Определете броя на корените на уравнението
където а е реален параметър.
Решение: Ще построим на една и съща координатна система функциите
За целта последователно ще построим графиките на
чрез … да кажем  “преместване”.
 
За да построим y=|x - 2|, трябва да преместим тази графика надясно.
Понеже y=f(x+a) се получава от y=f(x) чрез местене наляво-надясно /хоризонтално/, просто трябва да преценим къде ще отиде някоя точка. Тук най-характерната за графиката точка е (0, 0). Е, в новата функция, ако х =2, ако y=0, за х получаваме 2. Следователно местенето е надясно.
Логиката не е: щом ИЗВАЖДАМЕ, значи местим наляво, а обратно - МЕСТИМ НАДЯСНО. Получаваме:
За да построим y=|x - 2| - 1, преместваме новата графика надолу.
Понеже y=f(x)+a се получава от y=f(x) чрез местене нагоре-надолу /вертикално/, и отново трябва да преценим къде ще отиде някоя точка. Тук най-характерната за графиката точка е (2, 0). Е, в новата функция, ако х =2, то у=-1. Следователно местенето е надолу.
Получаваме:
За да построим y=||x - 2| - 1|, трябва да "обърнем" тази част от графиката, която е отдолу под абсцисата.
Понеже y=|f(x)| се получава от y=f(x) чрез симетрично "обръщане" на частите от графиката, които са под Ох, като да "сгънем" по абсцисата и да направим отпечатък отгоре. Отново трябва да преценим къде ще отиде някоя точка. Тук най-характерната за графиката точка е (2, -1). Тази точка ще отиде в х =2, то у=1, защото за същата стойност на х, у има противоположен знак.
Получаваме:
Ето чертеж с ясна графика на функцията y=||x - 2| - 1|, без да обръщаме внимание на помощните функции.
Сега на същата графика да построим и правата, която е графика на функцията y = а, да си представим как я местим нагоре-надолу в зависимост от различните стойности на параметъра а. За тези, които имат инсталирана geonext, може да погледнат как се движи правата у=а, или тук, ако нямате.
Очевидно, ако а < 0, то графиката на функцията y = а ще е под абсцисата, двете графики няма да имат обща точка, т.е. уравнението няма да има решение.
Ако а = 0, то графиката на функцията y = а ще е точно абсцисата, двете графики ще имат 2 общи точки /очевидно 1 и 3/, т.е. уравнението ще има 2 решения.
Ако 0 < а < 1, правата y = а ще пресича точно на 4 места червената графика, т.е. уравнението ще има 4 решения.
Ако а = 1, то правата y = а = 3 ще е има с другата графика 3 общи точки /едната очевидно е за х = 3, другата очевидно е х = 0, а третата можем да сметнем или да намерим симетрично на х = 2, т.е. х = 4/, т.е. уравнението ще има 3 решения.
Ако а > 1, правата y = а ще пресича точно на 2 места червената графика, т.е. уравнението ще има 2 решения.
Обобщаваме това в отговора:
Отг. Ако а < 0, то уравнението няма да има решение.
Ако а = 0 или а > 1, уравнението ще има 2 решения.
Ако 0 < а < 1, уравнението ще има 4 решения.
Ако а = 1,  уравнението ще има 3 решения.
Заб. Горната задача можете да си я решите и без графика, разглеждайки модулите и интервалите, които се получават, като се приложи определението... Естествено, започнете от вътрешния модул :-). Неизбежно се получават 4 интервала, в които да решавате уавнението.

За УПРАЖНЕНИЕ можете да решите уравнението |ах - 2| = 1 - а и графично :-).