Модул /абсолютна стойност/. Уравнения
Определение: Модул/абсолютна стойност на едно число се нарича същото число, ако то е неотрицателно, и противоположното му, ако то е отрицателно, т.е.
Нагоре
Напред
Модул и абсолютна стойност са термини за едно и също понятие. По друг начин казано, |a| е разстоянието от 0 до числото а на числовата ос.
Така |5| = 5, |3| = 3, |-4| = 4, |-97| = 97. Но забелязваме,
че |5| = 5 и |-5| = 5.
Модулите на противоположни числа са равни!
Заб.
Има ли нужда да напомням, че 5 и -5 са противоположни числа? Изобщо а и -а са противоположни, при това не знаем кое от тях е положително, и кое е отрицателно. Това при положение, че не са 0, разбира се.
Така, ако имаме уравнение от тип |нещо| = число можем да го решим така:
Разглеждаме уравнението |A| = a, където а е число.
И понеже |0| = 0, няма значение къде ще закачим равенството:
Но не бива да го забравяме.
Пример 1: |x - 5| = 6
Решение:
1сл. х - 5 = 6,  х = 11;
2 сл.  х - 5 =  -6,  х = -1.

Пример 2:  |4 - |1 -2|x||| = 3
Решение: Отгоре погледнато това уравнение е
„модул от нещо = число”, при това положително. Тогава имаме два случая: „нещото = числото” и „нещото = - числото”.
2 сл. 4 - |1 - 2|x|| = -3
      - |1 - 2|x||| = -3 - 4
        |1 - 2|x||| = 7
1 сл. 4 - |1 - 2|x|| = 3
      - |1 - 2|x||| = 3 - 4
        |1 - 2|x||| = 1
Отново сме в същото положение. Имаме „модул от нещо = число”, при това положително.
1.2 сл. 1 - 2|x| = -1
          -2|x| = -2
           |x| = 1
          x = 1, x = - 1
1.1 сл. 1 - 2|x| = 1
     2|x| = 0
      |x| = 0
     
x = 0
2.1 сл. 1 - 2|x| = 7
            - 2|x| = 6
                |x| = -3
             няма решение
2.2 сл. 1 - 2|x| = -7
            - 2|x| = -8
                |x| = 4
            
  x = 4, x = - 4
Отг. x = 0, x = 1, x = -1, x = 4, x = -4
За нещастие този лесничък метод не върви, когато извън модула има неизвестно, или има повече от един модул без да са един в друг. Тогава се налага да използваме определението. Идеята е простичка  - разглеждаме 2 случая:
Първо, когато | а | = а при а > 0. Тогава заместваме модула с а, решаваме си уравнението, неравенството, или каквото там се иска, но резултатите накрая трябва да се засекат с неотрицателните а, т.е да удовлетворяват и това условие, за да са решения.
Второ, когато | а | = -а при а < 0. Тогава заместваме модула с -а, решаваме си каквото се иска, но резултатите накрая трябва да се засекат с а < 0, т.е да удовлетворяват и това условие, за да са решения.
Заб. Няма значение къде ще сложим равенството - дали в първия или във втория случай.
Да видим как това работи на практика.
Пример 3: |х - 1| = 3 + х - х2.
Решение: Използваме определението за модул:

Можем да обобщим горното така:
Когато има повече от един модул, ще трябва за всеки от тях да разгледаме двата интервала. Тогава се получават доста интервали и аз предлагам записване в нещо като табличка. За да е ясно кой модул на какво е равен в даден интервал.
Пример 4: |x - 1| - |x + 3| = 5.
Решение:

На числовата ос това изглежда така:
Ако комбинираме върху една числова ос, изглежда така:
Отдолу можем да си означим интервалите, които ще разглеждаме:
1 сл.  x < -3 Тогава уравнението изглежда така:
- x + 1 - (- x - 3) = 5 /Вместо модулите, взимаме техните равни от първата колонка горе./
- x + 1 + x + 3 = 5
0. x = 1, няма решение

Заб. Това означава, че уравнението няма решение в разглеждания интервал Ако тук се получи 0 x = 0, то всяко х е решение, но всяко х от разглеждания интервал.

2 сл. x в интервала [-3; 1] Тогава уравнението изглежда така:
- x + 1 - ( x + 3) = 5
- x + 1 - x - 3 = 5
-2x = 7
x = -7/2 = -3.5, не е решение, защото не е от разглеждания
интервал [-3; 1]
3 сл. x > 1 Тогава уравнението изглежда така:
x - 1 - ( x + 3) = 5
x - 1 - x - 3 = 5
0 x = 8, няма решение.
От 1, 2 и 3 сл. => Отг. Уравнението няма решение.

ЗАДАЧА:
1. |2х - 1| + |3х + 2| + |х| = 3         
-2/3
0
[-2/3; 0]
Следващата задача използва същите идеи, но ... с малко усложнения.
Пример 5: |х2 -2х| - |x2 +3| = 3 - 8x.
Решение:  Модулно уравнение, разглеждаме модулите: