Параметрични модулни уравнения
Нагоре
Напред
Назад
Да припомня как се решават параметрични уравнения.
1) Решаваме си уравнението и като получим корените /чрез параметър, най-често/,
2) връщаме се и заместваме с всеки от получените корени в условията, които сме наложили по пътя - ДМ и други, които сме получили в процеса на решаване.
3) Така ще получим  система от уравнения и/или неравенства за параметъра. Тогава параметърът вече е неизвестно. Решението на въпросната система са тези стойности на параметъра, за които коренът, с който проверяваме е решение на уравнението.
Да го видим на практика:
Пример 1: |ах - 2| = 1 - а.
Решение: Отгоре погледнато, това е „модул от нещо = число”. Имаме 3 възможности за „числото”.
1 сл. 1 - а < 0, а > 1, |ах - 2| = 1 - а < 0 и уравнението няма решение.
2 сл.
1 - а = 0, а = 1, заместваме с а = 1 навсякъде в уравнението:
|1.х - 2| = 0 х - 2 = 0, х = 2.
3 сл. 1 - а > 0 а < 1, |ах - 2| = 1 - а > 0 и тук имаме 2 възможности - „нещото = число” и „нещото = - числото”:
3.1) ах - 2 = 1 - а 
      ах  = 3 - а                                                       
3.2) ах - 2 = -(1 - а)
       ах  = 1 + а
Получихме две линейни уравнения и ще си ги решаваме като линейни параметрични. Трябва да разделим на а, но при условие, че а различно от 0. В 3 сл. а < 1 и не можем да изключим 0. Т.е. трябва да разгледаме а = 0 и да заместим в уравненията, за да видим дали всяко х е решение или няма решение тогава, и  а различно от 0, за да разделим на а.
3.1.1) а = 0 => 0х = 3 няма реш.
  т.е. ах  = 3 - а няма реш. при а = 0
3.2.1) а = 0 => 0х = 1 няма реш.,
т.е. ах  = 1 + а няма реш. при а = 0.
 
Тези корени са корени на уравнението, ако а < 1 и а не е 0 , защото сме в 3 сл.
Тук нямаме наложени условия за х, в които да заместваме корените, затова можем направо да обобщим:
Пример 2: |х - 2| + |3 - х| = а.
Решение: Тук веднага можем да видим, че лявата страна е неотрицателна, това означава, че ако а < 0 няма как да има решение това уравнение. С тази забележка ще се съобразим накрая. Ако получим решение за а < 0, значи нещо сме объркали. Да се придържаме към плана:
Разглеждаме първо модулите.

Да си ги нанесем в табличка на числовата ос.
Да обобщим къде /за кои стойности на параметъра а/ колко и какви корени сме получили. Най-лесно е пак на числовата ос:
Заб. Получихме, че при а < 0 няма решение, все пак... нали не сте забравили първоначалните забележки.

Пример 3
: |1- х| = ах
Решение:  Бихме могли да решим уравнението и графично /Защо пък не? y = ax e права през точката (0; 0), като параметърът а отговаря за наклона. Но това - като сме по-наясно с функциите :-)/.
Да се ориентираме към класиката:

Това е линейно уравнение и си го решаваме по схемата: всичко с х в едната страна, всичко друго от другата, изнасяме х пред скоби и делим на коефициента пред х, ако той не е 0. Ако е 0, заместваме с конкретната стойност на параметъра в уравнението и... то вече е непараметрично, решаваме си го.
х + ах = 1
х (1 + а) = 1
1.1) 1 + а = 0, т.е. а = -1. Тогава уравнението изглежда така: 0х = 1, което няма решение.
1.2) 1 + а не е 0, т.е. а не е -1. Тогава можем да разделим на коефициента пред х и се получава х = 1/(1 + а).
За да е корен на уравнението трябва да е изпълнено
Числителят е 0, ако а = 0, а знаменателт е 0 при а = -1.
2 сл. х > 1  Тогава уравнението е: х - 1 = ах.
Това отново е линейно уравнение и решаваме по същия начин.
х - ах = 1
х (1 - а) = 1
2.1) 1 - а = 0, т.е. а = 1. Заместваме в уравнението: 0х = 1, което няма решение.
2.2) 1 - а не е  0, т.е. а не е 1. Тогава можем да разделим на коефициента пред х, получаваме х = 1/(1 - а).
За да е корен на уравнението трябва да е изпълнено х >1.
Обобщаваме като правим числова ос за а и пишем къде какви корени имаме:
Някои уравнения като горното могат да се решат лесно графично!