Решение на ЗАДАЧА1
Решение на 1 задача: Разглеждаме уравнението 2(х + 1)2 - |х + 1| + а = 0. То е квадратно уравнение относно | х + 1| = t по-голямо или равно от 0. Тогава уравнението ще изглежда така:
2t2 - t  + a = 0.

a) a = -1. Заместваме в уравнението: 2t2 - t - 1 = 0.
Получаваме корени t1 = -1/2 < 0, не е решение, и t2 = 1 > 0.
Връщаме се към полагането:
| х + 1| = 1, което е еквивалентно на двете уравнения:
х + 1 = 1, х = 0; и х + 1 = -1, х = -2.
                                                                                  Отг. а)  х1 = 0, х2 = -2;
б) Уравнението да има 3 решения?
Разглеждаме 2t2 - t  + a = 0. Дискриминантата е D = 1- 8a.
1) Aкo D = 1- 8a < 0 или а > 1/8, то уравнението за t няма да има реални корени, следователно и изходното уравнение няма да има реални корени и а > 1/8 не е решение на задачата.
2) Aкo D = 1- 8a = 0 или а = 1/8, то уравнението за t има 1 реален корен t12 = 1/4> 0. Тогава | х + 1| = 1/4 има 2 корена и а = 1/8 не е решение на задачата.
3) Ако D = 1- 8a > 0 или а < 1/8, то уравнението за t има 2 реални корена.
Ако двата корена са положителни /
t1 > 0, t2 > 0/, то ще получим две уравнения 
| х + 1| = t > 0, всяко от тях ще има 2 решения и ще получим общо
4 решения и няма да е изпълнено условието на задачата.
Ако двата корена са с различни знаци /
t1 < 0 < t2/, то отрицателния корен няма да даде корени за х, т.е. ще получим едно уравнение 
| х + 1| = t > 0, което ще има
2 решения и няма да е изпълнено условието на задачата.
Остава единият корен да е t = 0. Заместваме с t = 0 в уравнението, за да видим за коя стойност на параметъра а нулата е корен. Получаваме: 0  - 0  + a = 0, или a = 0. Щом сме получили конкретна стойност на параметъра, заместваме в уравнението с нея и го решаваме: 2t2 - t = 0, t(2t - 1) = 0, t1 = 0 и  t2 = 1/2 > 0. Да се върнем към полагането:
| х + 1| = 0, х + 1 = 0, х  = -1  и
| х + 1| = 1/2  от което получаваме х + 1 = 1/2  и х + 1 = - 1/2 ,
или х = - 1/2 и х = - 3/2. Това са общо 3 корена и а = 0 е решение на задачата.
                                                                                       Отг. б) а = 0;
c) Искаме уравнението да има 4 различни корена. Предвид горните разсъждения това ще се случи, ако 2t2 - t  + a = 0 има два положителни корена / t1 > 0, t2 > 0/. За да е изпълнено това се сещаме за формулите на Виет, а и за това, че те са верни дори когато D < 0 и ако искаме корените да са реални, не бива да я забравяме.
Тогава | х + 1| = t1 > 0 и то има решения
х + 1 = t1,
х1 = t1 - 1 и х + 1 =  - t1, х2 = -t1 - 1
и  | х + 1| = t2 > 0 и то има решения
х + 1 = t2,
х3 = t2 - 1 и х + 1 =  - t2, х4 = -t2 - 1.
Трябва ни

Назад