Ирационални уравнения с един корен
Определение: Ирационално уравнение е уравнение, което съдържа неизвестно под корен.
Примери:
Както и при неравенствата, за да се освободим от корена трябва да го вдигнем на квадрат. Но вдигането на квадрат не е еквивалентна операция. Ако вдигнем двете страни без други уговорки, получаваме УРАВНЕНИЕ-СЛЕДСТВИЕ. Това означава, че всички корени на изходното уравнение са корени на следствието, но обратното не е вярно. Второто уравнение може да има корени, които не са корени на първото. Тогава с директна проверка можем да проверим кои от тези корени са истинските. Проверката се прави:
като заместим неизвестното с конкретния корен на уравнението-следствие в изходното уравнение или в някое уравнение преди вдигането на квадрат. Пресмятаме. Ако получим вярно числово равенство, значи сме уцелили корен. Ако не е вярно равенството, то числото не е корен на изходното уравнение.
Пример 1:
Решение: Вдигаме двете страни на квадрат и получаваме уравнение-следствие:
Отг. х = 3.
ЗАДАЧА:
Пример 2:
Ако направо решим да вдигаме на квадрат, нищо няма да спечелим. За да се възползваме от „падането” на корена, той трябва да е сам от едната страна:
Отг. х = 5.
ЗАДАЧА: Решете уравненията:
Нагоре
Напред
Назад
Ако разгледате първите две уравнения, ще видите, че вдигайки на квадрат получавате едно и също уравнение /е, това, ако оставите корена от едната страна самичък и.. работите вярно/. Но после при проверката се оказва, че те имат различни решения.

Заб.
Последното уравнение съдържа 2 радикала /корена/ и ако не сте се справили с него, обърнете особено внимание на следващата тема. Обърнете й внимание даже да сте се справили, защото е важна тема, за да проверите дали сте прави, пък може и да научите нещо ново или да си припомните нещо позабравено старо :-).
Упътване: Като решавате последното уравнение внимавайте с вдигането на квадрат. Има 2 корена, затова ще трябва да вдигаме 2 пъти, неизбежно :-).
И формулите за съкратено умножение още са валидни!
Пример 3:
Решение: Няма как корен от нещо да е отрицателно число в областта на реалните числа, затова задачата няма решение.
Отг. Няма решение в R
Пример 4:
Решение: Много лесно:
защото едно произведение е 0, когато някой от множителите му е 0.
ДА, АМА НЕ!
Първо и много важно е да направим ДМ!! Или като получим корените да заместим с тях в горното уравнение! Защо? Защото ДМ ще се отнася за цялото уравнение, и ако единият множител е 0, ама другият не е дефиниран.. тази стойност на неизвестното няма как да е корен.
Затова:
1)ДМ:

Сега вече можем да се върнем към решението от горе:
Отг. 1, 2 и 3
с проверка!