Теореми за ирационални уравнения
Подобно на неравенствата, при уравненията можем да вдигаме еквивалентно, ако и двете страни са неотрицателни. Много е важно условието за неотрицателност, защото иначе можем да направим груби грешки. Отново пример:
Второто очевидно не е вярно.
Тук първото не е вярно.
Теорема 1: Ако f(x) > 0, g(x) > 0, то f(x) = g(x) е еквивалентно на f 2(x) = g 2(x),
т.е. като вдигнем на квадрат /и изобщо на четна степен/ двете неотрицателни страни получаваме еквивалентно уравнение.
По-обща е следната Теорема:
Пример 5:
Решение: ДМ: 2х-1 > 0, х > 1/2 = 0,5.
Можем да приложим горната теорема:
Отг. х = 13.
Заб. При използването на тази теорема трябва да се проверява задължително дали получените корени са истински, т.е. дали са в ДМ!!

ЗАДАЧА: Кои са условията, при които можем да вдигнем еквивалентно двете страни на уравнението:
1) х > 5;     2) х < 1;        3) х > 5;      4) х > 1;    
5) х >0;      6) х > 0         7) Няма такива.
ЗАДАЧА:
Решение
 
Пример 6:
Решение
Да поразсъждаваме. Лявата страна е неотрицателна в ДМ. Тогава задачата ще има решение, когато и дясната е неотрицателна. А когато и двете са неотрицателни можем да приложим теоремата и да вдигнем на квадрат.
За уравнението получаваме:
От последното става ясно, че каквито и да са корените му, подкоренната величина е неотрицателна, т.е.12х-11 > 0. Това означава, че можем да изпуснем това условие в системата
Отг. х = 1.
Размишленията върху горното можем да обобщим в следната
Теорема 2:
Пример. Да определим функциите f и g, по смисъла на последната теорема за следното уравнение:
Решение:   f(х) = 2х2 - 3        и     g(x) =    х + 6.

Да разгледаме една вече решавана задача.

Тук има два корена, а те си имат ограничение в ДМ!! За да бъдат дефинирани, трябва да е изпълнено:
Но в ДМ корените са неотрицателни!
и тогава двете страни на уравнението са неотрицателни и можем да вдигнем на квадрат еквивалентно:
Заб. Приложихме две от теоремите. При първото вдигане на квадрат приложихме Теорема 1, а при второто - Теорема 2.
Заб. Обърнете внимание, че не решавахме последното неравенство
3 - х > 0, а направо заместихме в него и направихме проверка. Това е много удобно, когато получим неравенства, които не ни харесват особено :-). При трудни неравенства често е по-лесно да направим оценка на числа, отколкото да решим неравенството. При все това този подход е най-важен за параметричните уравнения! Там идеята е да получим евентуални корени /в които най-често се среща и параметър/  и после да заместим в условията с всеки от получените корени. Получават се условията за параметъра, при които съответния корен ще удовлетворява уравнението. 
Горното записване на задачата е малко разхвърляно, и за БЕЛОВА бих предложила следния стил:
Нагоре
Напред
Назад