Една задача с мнооого сметки, пък и мислене
Следващият пример си е от „висшия пилотаж”!
Пример 6:
Решение:
Първи вариант: освобождаваме се от знаменател, получаваме
и вдигаме на квадрат, получаваме уравнение от четвърта степен, което трябва да се разложи и после да направим проверка с получените евентуални корени. Последните две не винаги са лесни за изпълнение, но надеждата си отива последна и пробваме този вариант:
Да си спомним за Хорнер! Евентуалните рационални корени търсим като обикновена дроб
Нагоре
Напред
Назад
Комбинациите са повече, отколкото ми се иска. А и над нас винаги тегне възможността многочлен от 4-та степен да се разлага на два неразложими квадратни тричлена. Преди да се пробваме със Схема на Хорнер, можем да проверим с директно заместване дали някое цяло число не е корен. Това не е задължително - зависи колко ви се занимава с Хорнер. А имаше и правило за отхвърляне на евентуални корен-кандидати! Най-лесно се пробва с 1 - просто събираме коефициентите:
8-12-71+120-45=128-128=0! Супер, 1 е корен на последното уравнение. Да напомня, че корените на горното уравнение не са задължително корени на изходното :-) трябва да направим проверка преди вдигането на квадрат!
Дали -1 е корен? 8.1 - 12.(-1) - 71.(+1) +120.(-1) -45 =
= 8 + 12 -71 -120 - 45 < 0, т.е. -1 не е корен. Да проверим дали 2 е корен:
8.16 - 12.8 - 71.4 + 120.2 - 45 = 8.4 - 4.71 + 4.60 = 4.8 - 4.11 = -4.3 не е  0, т.е. 2 не е корен.
А 3? Заместваме неизвестното х с 3 и получаваме
8.81 - 12.27 - 71.9 +120.3 - 45 = 
= 8.9.9 - 12.9.3 - 71.9 + 40.3.3 - 9.5 =
= 9( 72 - 36 - 71 + 40-5) = 9(1- 41 + 40) = 9.0 = 0. Супер, и 3 е корен! Това е повече, отколкото можехме да мечтаем. След като отделим 2-та получени корена, ще получим квадратен тричлен, с който можем да се справим. Време е за Схема на Хорнер:
„Остана само” да направим проверка с 4-те корена в изходното уравнение
Заб. Можем да заместим и преди да сме вдигали на квадрат, в
Но трябва да сме наясно с ДМ. Ако  заместим в последното, ще видим само дали коренът е дефиниран. Другото условие от ДМ е х и подкоренната величина да са различни от 0. Е, получените числа, кандидати за корени не са 0, а дали коренът става 0 можем да видим като заместим.
Заместваме: с х = 1 получаваме
С х = 3 получаваме
Другите два корена първо ще вдигнем на квадрат, за по-лесни сметки после. Ще работим с двата едновременно, като горните знаци ще отговарят на първия, а долните - на втория:
Заместваме:
Лявата страна е положителна и при двата знака, но дясната не.
Тогава х1, което проверяваме - с горния знак -  няма да е решение със сигурност, защото е отрицателно число /3 влиза под корена като 9, умножено по 55 е 495/. Остава да продължим проверката за х2, т.е. с долния знак. Тогава и двете страни ще са положителни и можем еквивалентно да вдигнем на квадрат:
Втори вариант за решение - опит за „измама” - вдигаме на квадрат двете страни на уравнението и после да положим, като се борим за еквивалентност. Целта е да избегнем проверката в уравнение, която може да е доста завъртяна, както видяхме горе.
Третите корени от първия и втория вариант са равни, макар и да изглеждат различно.
ЗАДАЧА (гадна):
Да пробваме с първия вариант:
Според Схемата на Хорнер търсим корени измежду числата:
Проверяваме с 1 и получаваме: 2 - 2 - 3 + 4 - 1 = 6 - 6 = 0! Следователно х = 1 е корен.
Проверяваме с -1 и получаваме: 2 + 2 - 3 - 4 -1 = - 4 < 0 и не е корен.
Със Схемата на Хорнер можете да проверите, че ? и -1/2 не са корени, а 1 е двукратен корен. Следователно
Проверката в изходното уравнение спестява и проверка за ДМ.
Вторият начин тук изглежда така:
и т.н.
и т.н.