Показателна функция
Нагоре
Напред
За да се чувствате комфортно в темата, припомнете си формулите за степенуване.
Определение: Функция от вида y = ax, където х е произволно реално число, а основата а е положително реално число, различно от 1 се нарича показателна функция.
Да разгледаме функциите
Като даваме различни стойности на х, можем да пресметнем съответните стойности на у. И после да начертаем графиките им.
Ето как изглеждат двете графики:

Червената права е у=1 и е успоредна на абсцисата. Самата абсциса има уравнение у=0.
Какво забелязваме?
Ако сгънем екрана по ординатата Оу, двете сини графики ще съвпаднат /симетрия относно правата Оу му викат/. Това се случва винаги, когато основите са реципрочни числа. Тук е мястото да подсетя, че ако едно число а>1, то реципрочното му

                          
и обратно, ако 0 < а < 1, то реципрочното

Като обобщение можем да кажем: показателни функции с реципрочни основи имат графики, симетрични относно Оу.
   По-важно: и двете графики минават през точката (0;1), т.е. когато х=0, у=1 - ами естествено, нали всяко ненулево число на степен 0 е 1!! /колкото и нелогично да ви е изглеждало това на пръв поглед, сега е ясно защо така са решили умните глави, нали? / Това се отнася за всяка показателна функция
у = ах - при х = 0, у = 1
                                     
Най-важно: при  y = 3х графиката „се качва нагоре”, а при

слиза надолу”. „Качването” означава, че за по-голяма стойност на х се получава по-голяма стойност на у и това се казва растяща функция. Такива са всички показателни с основа по-голяма от 1. А „слизането” означава, че за по-голяма стойност на х, се получава по-малка стойност на у. Това се казва намаляваща функция и се случва на всяка показателната с основа между 0 и 1. Да обобщим: 


Ако основата а > 1, то                                     , т.е. знакът на неравенството се запазва.
Ако
основата 0 < а < 1, то                                   , т.е. знакът на неравенството се обръща.


Други /очевидни/ свойства:
ах > 0  за всяко х, а > 0 и а различно от 1.   
Всяко положително число е стойност на  у = ах. И затова b = ах има решение винаги, когато b > 0 и няма решение, когато b < 0. За сега ще се ограничим в случая, когато можем да представим b като степен на а.
  Графиката е над у=1, ако а>1 и х>0, или 0<а<1 и х<0. А графиката е под у=1 /и над у=0/, ако а>1 и х<0, или 0<а<1 и х>0 /

Иначе казано:
 
   
                               

Обаче:



защото основата е по-малка от 1.

Заб. На един по-късен етап, когато функциите ще ни изглеждат нещо нормално, ще използваме и следното свойство:
Ако а>1 и у = аf(x), то  у = аf(x) ще има поведението на f(x).
Ako 0<a<1 и  у = аf(x), то  у = аf(x) ще има поведение >обратно на поведението на f(x).
Можем да видим и други свойства, сравнявайки степени с различни основи, но с един и същи показател. Както се вижда от следващата картинка, при х>0, колкото е по-голяма основата, толкова е по-голяма степента, т.е. 9x>4x>3x>2x за х>0. За х<0 обаче, неравенствата ще се обърнат - графиките разменят местата си.
Ако пък сравняваме степени с основи, по-малки от 1, всичко ще е обратното. Вижте графиките на у=(1/2)х и у=(1/3)х и сравнете стойностите им при х>0 и при х<0.
Заб.
При всички функции, когато една графика е над друга, то тя има по-големи стойности - извинете за напомнянето :-).
Вижте на следващата картинка стойностите на y при различните графики, за едно и също х0 > 0.