Логаритмична функция
Определение: y = logax, където а > 0, а различно от 1  и x > 0, се нарича логаритмична функция.
Ако вземем предвид дефиницията на логаритъм, то
y = logax   ay = x и познавайки свойствата на показателната функция можем за кажем,
че х > 0, а y заема всички реални стойности.
Да разгледаме графиките на функциите y = log3 x и y = log1/3 x.
Червената права е х=1 и е успоредна на ординатата. Самата ордината има уравнение х = 0.
Какво забелязваме?

· Ако сгънем екрана по абсцисата Ох, двете сини графики ще съвпаднат /симетрия относно правата Ох ... да ви напомня за показателната функция?/. Това се случва винаги, когато основите са реципрочни числа. На това място като разглеждахме показателна функция ви подсетих, че ако едно число а > 1, то реципрочното му

                   и обратно, ако 0 < а < 1, то реципрочното

Като обобщение можем да кажем:
логаритмични функции с реципрочни основи имат графики, симетрични относно Ох.

· По-важно: и двете графики минават през точката (1; 0), т.е. когато х=1, у=0 - loga1=0 за всяко а > 0, а различно от 1!! Това се отнася за всяка логаритмична функция
y = logax, където а > 0, а различно от 1  и x > 0.

· Най-важно: при  y = log3x графиката „се качва нагоре”,
а при y = log1/3x - „слиза надолу”, т.е. намалява.
Всяка логаритмична функция с основа по-голяма от 1 е растяща.
А
всяка логаритмична функция с основа между 0 и 1 е намаляваща.
С други думи: 

Примери:
log6,535 > log6,5 34, защото 6,5>1 и 35 >34.
log0,43,4 < log0,4 2, защото 0< 0,4< 1 и 3,4 > 2.

Други /очевидни/ свойства:
· Всяко число е стойност на  у = logax. И затова b = logax има решение винаги, когато а > 0 и а различно от 1.
· Графиката е над у = 0, ако а > 1 и х > 1, или 0 <а <1 и 0 < х <1.
А графиката е под у = 0, ако а > 1 и 0 < х < 1, или 0 < а < 1 и х > 1.
Това най-лесно се помни като си направи схемичка на графиките. Тогава се вижда коя къде е под и къде е над абсцисата Ох!

Пример.
Между кои цели числа се намират числата log315, lg0,02, log1/20,4.
Решение:
За log315 разглеждаме степените на 3, защото log33n=n.
Ta, 15 е между 9=32 и 27=33, тогава 2 = log39 < log315 < log327 = 3.
За lg0,02 разглеждаме степените на 10: 0,01 < 0,02 < 0,1, от свойствата на когаритъма при основа по-голяма от 1 следва:
lg0,01 <  lg0,02 < lg0,1, което е lg10-2< lg0,02< lg10-1 ,
т.е. -2< lg0,02< -1.
За log1/20,4 разглеждаме степените на 1/2 и искаме да намерим тези, между които попада 0,4: 2-2 = (1/2)2 = 1/4 = 0,25, 2-1 = 1/2 = 0,5,
а 0,25 < 0,4 < 0,5 основата е по-малка от 1,
следователно обръщаме неравенствата:  log1/2 0,25 > log1/20,4 > log1/20,5,
log1/2 (1/2)2 > log1/20,4 > log1/2 (1/2)1 ,
2 > log1/20,4 > 1.
Погледнете отново свойствата на логаритмичната функция. Да ви напомнят за свойствата на показателната функция??? Е, ако сте ги позабравили, погледнете си урока за показателна функция и ще откриете значителни прилики J
Заб. Да кажа и свойство, което ще използваме по-късно. Ето как изглежда тук:
·  Ако а > 1 и у = logaf(x), то у= logaf(x),   ще има поведението на f(x).
·  Ako 0 < a < 1 и у = logaf(x), то у = logaf(x),  ще има обратно на поведението на f(x).
Можем да видим и други свойства, сравнявайки логаритми с различни основи, но с един и същ аргумент. Както се вижда от следващата картинка, при х > 1, графиката с по-голяма основа е под другата, т.е. log3 x > log5 x за х > 1. За 0 < х < 1 обаче, неравенствата ще се обърнат - графиките разменят местата си.
Ако пък сравняваме логаритми с основи, по-малки от 1, всичко ще е обратното. Вижте графиките на у= log1/3 x и у= log1/5 x и сравнете стойностите им при х > 1 и при 0 < х < 1.
Заб. При всички функции, когато една графика е над друга, то тя има по-големи стойности - извинете за напомнянето... пак
J.
Да си призная, до тук преписвах почти дословно от казаното за показателна функция.. Е, сменях някои неща, но да се съсредоточим върху общите!!
И двете са растящи при основа по-голяма от 1 и знакът на неравенството остава същия.

И двете са намаляващи при основа между 0 и 1, т.е. знакът на неравенството се обръща.

Да разгледаме някои картинки.
Първо графиките на
у = log3 x, то у= 3x. Красиви са, нали?
И симетрични относно y = x - ъглополовящата на I и II квадрант.
Ако погледнете и графиките на  у = log1/3 x, то у = (1/3)x, ще забележите същото. Общо казано, графиките на логаритмичната и показателната функции при една и съща основа са симетрични относно ъглополовящата на I и II квадрант.
Нагоре
Напред
Назад