Логаритмични неравенства
Както и при показателните неравенства най-често се стремим да представим двете страни като логаритми при еднакви основи

и след това да съобразим дали основата е под или над 1.

За да видите решенията на неравенството log5 х < а=log55a отворете
ТОЗИ ФАЙЛ с geonext или ТОЗИ.
А за неравенството log1/4 x < a=log0.250.25a вижте
ТОЗИ ФАЙЛ или ТОЗИ, ако нямате geonext. Видяхте ли каква е разликата в решенията при основа по-голяма от 1 и при основа между 0 и 1?

Пример1.
lg(3x - 4 - x2) < 3

Решение:  Трябва да се научим, като видим логаритъм веднага да правим
ДМ. Тук това е 3x - 4 - x2 > 0. Решението на това неравенство можем да оставим за по-късно, защото може да не се наложи да го решаваме - например, ако трябва да решим по-силно условие. От друга страна, ако то няма решение, ще означава, че изходното неравенство също няма решение и няма да се наложи да решаваме по-нататък. Изборът е наш. Аз ще избера първия вариант, макар да са ме учили като видя квадратно неравенство - първо да си го реша, пък после да му мисля.
Да представим 3 с десетичен логаритъм. 3 = lg103.
Препоръка: гледайте формулите възможно най-често, докато започнете да ги прилагате сигурно и уверено.
lg(3x - 4 - x2) < lg 103 и понеже основата е 10>1, запазваме знака на неравенството:
3x - 4 - x2 < 103. Решаваме полученото
квадратно неравенство.
х2 - 3х+1004 >0 D=4025=25.161,
Тук е мястото да се сетим за ДМ. Е, не се оправда надеждата да ни се размине.. та, получаваме неравенство x2 - 3x + 4< 0 .
ДА, АМА D = 9 - 16 < 0, следователно няма решение, т.е. ДМ е празно множество
и не е имало смисъл да полагаме горните усилия, но знае ли човек откъде ще изскочи заека..
Пример2. log2 (x+3) - log2 (2x -1) > 3
Решение: Тук ДМ е
и е толкова лесно, че се изкушавам да почна с него. Получаваме
и по-силното очевидно е х>1/2 - това е ДМ. В неравенството отляво ще приложим формулката за разлика от логаритми, а вдясно ще представим 3 чрез логаритъм при основа 2. Получаваме
Основата е 2>1, запазваме знака:
Решаваме полученото дробно неравенство като прехвърляме всичко от едната страна, подвеждаме под общ знаменател и НЕ се освобождаваме от него /защо ли?/, разлагаме на множители и се борим със знаците - ще се радвам, ако това напомняне ви е досадно J
Пример3. 

Решение: ДМ х>0, Виждаме, че основите са степени на 3. Ще сменим основата и новата е най-добре да е 3 /простите числа са за предпочитане/.
Така неравенството ще изглежда по следния начин:
log3 x+ 2log3 x - log3 x < 6,
2log3 x < 6,
log3 x < 3 = log3 33 и като вземем предвид, че основата е 3>1 и знакът на неравенството се запазва получаваме 0 < х < 33 = 27.


Пример4.

Решение:
Припомням как се пише степенуване на логаритъм:
Като огледаме неравенството, виждаме и еднаквите групи:
Полагаме
и получаваме квадратно неравенство:
t2-3t +2 < 0 D = 1, t1 = 1, t2 = 2,
t  е в (1;2), т.е.
1< t <2, връщаме се към полагането:
oсновата 2>1 и неравенството се запазва:


ЗАБ. ТОВА НЕРАВЕНСТВО Е ПО-СИЛНО ОТ ДМ И ЗАТОВА НЯМА ОТДЕЛНО ДА РЕШАВАМЕ ДМ
Второто неравенство има решение всяко х,
защото има D < 0 и а > 0,
така че е достатъчно да решим първото.
Разлагаме на множители:
х(х - 1 ) < 0 има корени х1 = 0 и х1 = 1.
Така решенията са между двата корена,
т.е. 0 < х < 2.

Отг. х е в (0;1)


Пример5.

Решение:
Нагоре
Напред
Назад
второто неравенство е еквивалентно на
което е по-силно от първото,  т.е. то е ДМ, но ще го решим при нужда.
В неравенството от задачата заместваме
Това неравенство е по-силно от онова в ДМ. Което означава, че като не сме решили неравенството от ДМ, сме спестили излишни усилия J.  Решаваме си го, както ... си знаем:
Пример6. logx (x+3) > 2

Решение:
Ще разгледаме 2 случая за основата х.
1сл.) х > 1
logx (x+3) > 2 = logх х2,
основата е х > 1 и запазваме знака.
х + 3 > х2,
х2 - х - 3 < 0, D = 13,
Засичат се в (1; х2) или
2сл.) 0 < х < 1 Тогава неравенството ще се обърне:
х+3 < х2,
х2- х-3 > 0 корените са същите, но знакът на неравенството е обратен, а и търсим х между 0 и 1.





Виждаме, че няма решение.
Обобщение: От 1) и 2) следва