Графично решаване на системи
Идеята на графичното решаване е да построим графиките на уравненията и да видим къде и колко пъти се пресичат. Най-често този метод се ползва, когато имаме разнотипни уравнения и нямаме идея какво да правим. „Често” „виждаме” решение и с графичния метод доказваме, че то е единствено. Друг път почваме да строим графиките и се ориентираме къде да търсим „очевидното” решение, или доказваме, че системата няма решение. По-наясно с графиките ще сме след темата за изследване на функции, но с прости /познати/ графики можем и сега да направим някой опит. Във всеки случай трябва да сме наясно, че броят на решенията на системата е равен на броя на пресечните точки на графиките. Да започнем с линейните системи с две неизвестни. 
Пример1.
Решение: Линейни уравнения. Да ги докараме да изглеждат като линейни функции, т.е. у = нещо си, по възможност.
Построяваме графиките като първо правим табличка с точки от графиките. Две точки стигат за линейна функция!

Заб. Пред х в едната функция /уравнение/ е минус, а в другото - плюс. Ако пред х е минус, то графиката ще „слиза надолу”, т.е. функцията ще намалява. Ако пред х е плюс, то графиката ще се „качва нагоре”, т.е. функцията ще расте. Тогава двете графики се „разминават” и имат единствен шанс за пресичане, а системата - шанс за единствено решение. 
Пример2.



Решение:

Нанасяме точките от таблицата, през тях построяваме графиките на двете прави. Те се пресичат в една точка. От тази точка пускаме перпендикуляри към осите. Получаваме за х около 2, а за у - около 1. Остава да проверим дали точката (2, 1) е решение на системата като заместим директно:
Вярно е, следователно (2, 1) е решение на системата.

Графичното решение е приятно, когато решенията са очевидни цели числа. Има случаи, в които можем само да кажем интервал, в който е решението. Но пък можем да преброим корените - да видим на колко места и къде се пресичат графиките.
За система от ДВЕ лиейни уравнения можем да кажем, че има следните възможности:
  Да има 1 решение - когато двете графики се пресичат.
  Да има 0 решения - когато двете графики са успоредни. Това се случва, когато можем да направим коефициентите пред х и у еднакви, а свободния член е различен.
  Да има безброй много решения - когато двете графики съвпадат, т.е. едното уравнение се получава от другото чрез умножаване по коефициент и събиране. Иначе казано - когато всички коефициенти на едното уравнение са пропорционални на коефициентите на другото.  Тогава решението се описва с параметър, а точките, които отговарят на него лежат на правата.
Пример за 0 решения:
Решение:  Аналитично - умножаваме 1вото уравнение по 8, за да ги съберем, и да изключим х. Обаче тогава и у изчезва.
Едното уравнение няма решение, следователно и цялата система няма решение.
Графично - изразяваме у в двете уравнения.
В табличка смятаме по 2 точки.
Построяваме графиките.
Очевидно правите са успоредни и точките на едната са на разстояние 3.375 „над” съответните точки на другата, т.е. едната графика се получава от другата с успоредно преместване. Двете графики са успоредни, не се пресичат и системата няма решение.
Понякога уравнения се решават графично. Уравнението
Като построим графиките на двете функции и видим къде и колко пъти се пресичат.

Пример3.
Това уравнение води до системата от Пример2.
Нагоре
Напред
Назад
Така очевидното решение е х =1, у = 2.
За 8/9 < х < 1 очевидно у1 < у2, а за х > 1 очевидно у2 < у1. Това показва, че решението е единствено.

Пример за безброй много решения:
Решение:  Аналитично - делим 2рото уравнение на 8, за да ги съберем, и да изключим х. Обаче тогава и у изчезва.
В последната система едното уравнение има решение всяко х и всяко у. Следователно можем да не му обръщаме внимание, то не ограничава нищо. Тогава остава второто уравнение. Ако х е някакъв параметър а, то съответното у ще се получава по формулата у = а + 3.
Графично - изразяваме у в двете уравнения.
Получихме, че двете уравнения са еднакви, следователно всички точки от правата у = х + 3 ще удовлетворятват и двете уравнения, т.е. са решение на системата. И ако х е някакъв параметър а, то съответното у ще се получава по формулата у = а + 3.
Тогава (а, а + 3) ще са решения на системата, а е реален параметър.
Можем да решим и относно х - тогава х = у - 3 и ако
у = а - параметър, то х = а - 3 и решенията можем да напишем като
(а - 3; а), където а е произволно реално число.