Параметрични системи
Нагоре
Напред
Назад
Пример1: /ТУ, 2006г./ Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които системата
има безброй много решения.
Решение: Решаваме си системата. Второто уравнение е линейно и можем да изразим едното неизвестно, после да заместим в другото уравнение. Класика. После ще проверим при кои стойности на параметъра са изпълнени изискванията на задачата.
Пример2: /УНСС, 2007г. / За коя стойност на параметъра а системата
няма решение?
Решение: Можем да си решим системата, както в Пример1. Но ще предложа графичен подход, за да си припомним свойствата на линейната функция. Като начало можем да умножим второто уравнение по 3. Получаваме:

Коефицентите пред у и свободните членове са равни.
Ако а  =  -1/2, то
всички коефициенти ще са равни, което означава, че правите съвпадат, т.е. системата има безброй много решения.
Ако а не е -1/2, тогава
коефициентите няма да са пропорционални и двете прави ще се пресичат, а системата ще има 1 решение.
Което означава, че за всяка стойност на параметъра а, системата има решение, и няма стойност на а, за която системата да няма решение, т.е. задачата няма решение.
Заб. Всяко линейно уравнение с две неизвестни определя права линия. За да няма решение една система от две линейни уравнения с две неизвестни, трябва те да определят успоредни прави. А уравненията определят успоредни прави, когато коефициентите им са пропорционални с изключение на свободния член,
напр. х + 2у = 5 и 2х + 4у = 5. Или пък Коефициентите им са равни, с изключение на свободния член, напр. х + 2у = 5 и х + 2у = 2,5.
Отг. Няма решение
ЗАДАЧИ:
1.
/МГУ, 2007г./ Дадена е системата
където q е реален параметър.
1.1 Решете системата при q = 0.
1.2 За кои стойности на параметъра q системата има две реални различни решения?
2./ЛТУ, 2007г./ Дадена е системата
където а е реален параметър.
2.1Решете системата при а = 3.
2.2За кои стойности на параметъра а системата няма решение?

3./ВТУ Т.Каблешков, 2003г./ Дадена е системата
където p е реален параметър. Да се реши системата при р = 3. Да се намерят всички стойности на р, за които системата има две различни решения.
4./Агр уни, Пд, 2007г./ Дадена е системата
където а е реален параметър.
4.1Да се реши системата при а = 4.
4.2Да се определи а така, че системата да има точно две различни решения.
 
Отговори и идеи